Schwere, Elektricität und Magnetismus:333

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 319
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Das Potential zwei elektrischer Theilchen. Weber’s Form.

so kann man die Bewegung jedes solchen Theilchens in zwei zerlegt denken, nemlich die Bewegung mit dem Leiter und die relative Bewegung gegen den Leiter. Es seien

${\frac {dx}{dt}},\quad {\frac {dy}{dt}},\quad {\frac {dz}{dt}}$

die Componenten der absoluten Geschwindigkeit des im Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirten elektrischen Theilchens $\varepsilon \!$, und es seien

$v_{1},\,v_{2},\,v_{3}$

die Componenten der absoluten Geschwindigkeit des Leiterelementes.

 Dann sind

$w_{1}={\frac {dx}{dt}}-v_{1},\quad w_{2}={\frac {dy}{dt}}-v_{2},\quad w_{3}={\frac {dz}{dt}}-v_{3}$

die Componenten der relativen Geschwindigkeit des elektrischen Theilchens gegen den Leiter.

 Wir bezeichnen mit $x,\,y,\,z$ die Coordinaten eines Punktes von $dS\!$ und mit $x_{1},\,y_{1},\,z_{1}$ die Coordinaten eines Punktes von $dS'\!$. Dann ist

$r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},\!$

folglich durch Differentiation

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial x\,\partial x_{1}}}={\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial y\,\partial y_{1}}}={\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial z\,\partial z_{1}}}=-2,\\&{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial x\,\partial y_{1}}}={\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial x_{1}\,\partial y}}=0,\\&{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial y\,\partial z_{1}}}={\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial y_{1}\,\partial z}}=0,\\&{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial z\,\partial x_{1}}}={\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial z_{1}\,\partial x}}=0.\\\end{aligned}}$

Führen wir nun eine Function $F\!$ ein durch die Definitions-Gleichung

(2)	$F=i_{1}'{\frac {\partial (r^{2})}{\partial x_{1}}}+i_{2}'{\frac {\partial (r^{2})}{\partial y_{1}}}+i_{3}'{\frac {\partial (r^{2})}{\partial z_{1}}},$

so haben wir

${\frac {\partial F}{\partial x}}=-2i_{1}',\quad {\frac {\partial F}{\partial y}}=-2i_{2}',\quad {\frac {\partial F}{\partial z}}=-2i_{3}'.$

Dadurch lässt sich der Ausdruck (1) für $D_{1}\!$ in die folgende Form bringen: