Schwere, Elektricität und Magnetismus:347

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 333
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Weber’s Gesetz.

§. 103. Fortsetzung: Weber’s Gesetz.

 Endlich sollen für das elektrische Theilchen $\varepsilon \,$ die Bewegungsgleichungen auch aus Weber’s Formel hergeleitet werden:

(1)	$S=\varepsilon V,$

(2)

${\begin{aligned}D={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r^{3}}}{\Bigg \lbrace }(x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)&+(y-y_{1})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)\\&+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right){\Bigg \rbrace }^{2}.\,\\\end{aligned}}$

Hier findet sich

${\frac {\partial D}{\partial x'}}=a{\frac {dx}{dt}}+b{\frac {dy}{dt}}+c{\frac {dz}{dt}}+k,$

wobei $a,\,b,\,c,\,k$ Functionen von $x,\,y,\,z$ sind, welche der partiellen Differentialgleichung genügen

$\Delta _{2}\,\Delta _{2}F=0.$

Durch Differentiation nach $t\,$ erhalten wir

${\frac {d\left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}=a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+c{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+g,$

und hier ist die Function $g\,$ nur von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ und den Geschwindigkeiten ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\,$ abhängig. Demnach lauten die Bewegungsgleichungen:

(3)

${\begin{aligned}(m-a){\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-b{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-c{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=g-{\frac {\partial D}{\partial x}}+{\frac {\partial S}{\partial x}},\\\,\\-a_{1}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+(m-b_{1}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-c_{1}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=g_{1}-{\frac {\partial D}{\partial y}}+{\frac {\partial S}{\partial y}},\\\,\\-a_{2}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-b_{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+(m-c_{2}){\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=g_{2}-{\frac {\partial D}{\partial z}}+{\frac {\partial S}{\partial z}}.\\\end{aligned}}$

Hier müsste also zunächst eliminirt werden.

§. 104. Zusammenhang mit Ampère’s Gesetz.

 Der Ausdruck (12) des §. 96 ist von uns so interpretirt worden, dass der von den Geschwindigkeiten abhängige Theil des Gesammtpotentials zwei geschlossener Ströme auf einander sich durch Summirung aus lauter Einzelpotentialen zusammensetzt. Das Einzel-