Schwere, Elektricität und Magnetismus:358

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 344
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Neunter Abschnitt. §. 107.

(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos \gamma )^{-{\frac {1}{2}}}=\left(1-{\frac {2\alpha cos\gamma }{1+\alpha ^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (1+\alpha ^{2})^{-{\frac {1}{2}}};

und da drr absolute Zahlwerth von $2\alpha cos\gamma \,$ kleiner als $1+\alpha ^{2}\,$ ist, so darf man auf der rechten Seite der letzten Gleichung den ersten Factor nach dem binomischen Lehrsatze entwickeln und jedes Glied der Reihe mit dem zweiten Factor ausmultipliciren. Dadurch ergibt sich

(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos \gamma )^{^{-}{\frac {1}{2}}}

${\frac {1}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {\alpha \cos \gamma }{(1+\alpha ^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {1\cdot 3}{1\cdot 2}}{\frac {\alpha ^{2}\cos \gamma ^{2}}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {5}{2}}}}+\ldots \,$

$+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{1\cdot 2\cdot 3\ldots n}}{\frac {\alpha ^{n}\cos \gamma ^{n}}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {2n+1}{2}}}}+\ldots \,$

Hier hat man die Potenzen von $(1+\alpha ^{2})\,$ mit negativen, gebrochenen Exponenten wieder nach dem binomischen Lehrsatze zu entwickeln und schliesslich nach ganzen Potenzen von $\alpha \,$ zu ordnen. Auf diesem Wege findet sich

(4)	$P_{0}=1\,$

und für jedes ganze $n\,$ , das grösser als $0\,$ ist:

(5)	${\frac {1\cdot 2\cdot 3\ldots n}{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}}P_{n}\,$ $=\cos \gamma ^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}\cos \gamma ^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}\cos \gamma ^{n-4}$ $-+\ldots \,$

Hiernach dürfen wir die Coefficienten $P_{0},\ P_{1},\ P_{2},\ \dotsb \ P_{n},\ \dotsb \,$ in (2) und (3) als bekannte Functionen von $\cos \gamma \,$ ansehen.^[1] Für $r=a\,$ stimmen beide Entwicklungen überein. Werden die in (2) und (3) gewonnenen Reihen in die Gleichung (1) eingeführt, so ergibt sich

für einen Punkt im äusseren Raume $(r>a)\,$ :

(6)	$V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}\,;$

↑ *) Andere Entwicklungen für $P_{n}\,$ findet man im 17. Bande von Crelle’s Journal in der Abhandlung von Dirichlet: Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données. — Man vergleiche auch Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Berlin 1861. — Sidler, die Theorie der Kugelfunctionen. Bern 1861.

[1] *) Andere Entwicklungen für $P_{n}\,$ findet man im 17. Bande von Crelle’s Journal in der Abhandlung von Dirichlet: Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données. — Man vergleiche auch Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Berlin 1861. — Sidler, die Theorie der Kugelfunctionen. Bern 1861.

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