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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.5

heißt der Relativgrad des Körpers $K$ in bezug auf $k$; es ist $M=rm$. Die Gleichung (3) vom $r$-ten Grade ist im Rationalitätsbereich $k$ irreduzibel. Sind $\Theta '$, …, $\Theta ^{(r-1)}$ die $r-1$ anderen Wurzeln der Gleichung (3), so heißen diese $r-1$ algebraischen Zahlen die zu $\Theta$ relativ konjugierten Zahlen, und die bez. durch $\Theta '$, …, $\Theta ^{(r-1)}$ bestimmten Körper $K'$, …, $K^{(r-1)}$ heißen die zu $K$ relativ konjugierten Körper. Ist $A$ eine beliebige Zahl des Körpers $K$, und ist

$A=\gamma _{1}+\gamma _{2}\Theta +\cdots +\gamma _{r}\Theta ^{r-1}$,

wo $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, …, $\gamma _{r}$ Zahlen in $k$ sind, so heißen die Zahlen

${\begin{alignedat}{2}A'&=\gamma _{1}+\gamma _{2}\Theta '&+\cdots +&\gamma _{r}\Theta ^{\prime r-1},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots &&\\A^{(r-1)}&=\gamma _{1}+\gamma _{2}\Theta ^{(r-1)}&+\cdots +&\gamma _{r}(\Theta ^{(r-1)})^{r-1}\end{alignedat}}$

die bez. durch die Substitutionen $T'=(\Theta :\Theta ')$, …, $T^{(r-1)}=(\Theta :\Theta ^{(r-1)})$ aus $A$ entspringenden oder zu $A$ relativ konjugierten Zahlen. Wendet man auf die sämtlichen Zahlen eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ die Substitution $T'$ an, so heißt das dann entstehende Ideal ${\mathfrak {J}}'$ das durch $T'$ aus ${\mathfrak {J}}$ entspringende oder zu ${\mathfrak {J}}$ relativ konjugierte Ideal.

Das Produkt einer Zahl $A$ mit den relativ konjugierten Zahlen

$N_{k}(A)=AA'\ldots A^{(r-1)}$

heißt die Relativnorm der Zahl $A$ bezüglich des Körpers oder Rationalitätsbereiches $k$. Die Relativnorm $N_{k}$ ist eine Zahl in $k$. Ist ${\mathfrak {J}}=(A_{1},\,\ldots ,\,A_{S})$ ein beliebiges Ideal in $K$, so heißt das Produkt von ${\mathfrak {J}}$ mit den sämtlichen relativ konjugierten Idealen von ${\mathfrak {J}}$

$N_{k}({\mathfrak {J}})={\mathfrak {J}}{\mathfrak {J}}'\ldots {\mathfrak {J}}^{(r-1)}$

die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Die Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {J}})$ ist ein Ideal des Körpers $k$. Bedeuten nämlich $U_{1}$, …, $U_{S}$ Unbestimmte, so sind die Koeffizienten des Ausdruckes

$(A_{1}U_{1}+\cdots +A_{S}U_{S})(A'_{1}U_{1}+\cdots +A'_{S}U_{S})\cdots (A_{1}^{(r-1)}U_{1}+\cdots +A_{S}^{(r-1)}U_{S})$

ganze Zahlen in $k$, deren größter gemeinsamer Teile nach Satz 13 mit jenem Idealprodukte übereinstimmen muß.

Wenn $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ beliebige Zahlen in $k$ sind und $j=(\alpha _{1},\,\ldots ,\ldots \alpha _{s})$ das durch sie bestimmte Ideal in $k$ bezeichnet, so wird durch die nämlichen Zahlen auch zugleich ein Ideal ${\mathfrak {J}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ im Körper $K$ bestimmt. Dieses Ideal ${\mathfrak {J}}$ ist als nicht verschieden von $j$ anzusehen. Ein Ideal ${\mathfrak {J}}=(A_{1},\,\ldots ,\,A_{S})$ des Körpers $K$ wird umgekehrt dann und nur dann auch als ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ bezeichnet, wenn ${\mathfrak {J}}$ sich zugleich als größter gemeinsamer Teiler von gewissen ganzen Zahlen $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ des Körpers $k$ darstellen läßt. Daß wir berechtigt sind, unter den angegebenen Umständen ($\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$) zugleich als ein Ideal in $k$ und in $K$ anzusehen, lehrt der folgende Satz: Wenn $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 93. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/110&oldid=- (Version vom 4.6.2018)