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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.5

Aus elementaren Sätzen der Determinantentheorie ergibt sich nun die Identität

$\Delta =\left|{\begin{array}{llll}1,&\xi ,&\cdots ,&\xi ^{m-1}\\1,&\xi ',&\cdots ,&\xi ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\xi ^{(m-1)},&\cdots ,&\left(\xi ^{(m-1)}\right)^{m-1}\\\end{array}}\right|^{r}\Pi ,$

wo

$\Pi =\left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi ,&\cdots ,&\Xi ^{r-1}\\1,&\Xi ',&\cdots ,&\Xi ^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi ^{(r-1)},&\cdots ,&\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\end{array}}\right|\ \left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi _{(1)},&\cdots ,&\Xi _{(1)}^{r-1}\\1,&\Xi '_{(1)},&\cdots ,&\Xi _{(1)}^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi _{(1)}^{(r-1)},&\cdots ,&\left(\Xi _{(1)}^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\end{array}}\right|\cdots \left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi _{(m-1)},&\cdots ,&\Xi _{(m-1)}^{r-1}\\1,&\Xi '_{(m-1)},&\cdots ,&\Xi _{(m-1)}^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi _{(m-1)}^{(r-1)},&\cdots ,&\left(\Xi _{(m-1)}^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\end{array}}\right|$

gesetzt ist, und hieraus folgt unmittelbar der Satz 39.

Der eben bewiesene Satz 39 zeigt nicht nur, daß die Diskriminante eines Körpers durch die Diskriminante eines jeden Unterkörpers teilbar ist, sondern gibt eine gewisse Potenz der letzteren an, welche in der Diskriminante des Oberkörpers aufgeht, und deckt auch zugleich die einfache Bedeutung des übrig bleibenden Faktors der Diskriminante des Oberkörpers auf.

§ 16. Die Zerlegung eines Elementes des Körpers $k$ im Oberkörper $K$. Der Satz von der Differente des Oberkörpers $K$.

Satz 40. Jedes Element des Unterkörpers $k$ ist dem Produkt von gewissen $r$ Elementen des Oberkörpers $K$ gleich, und zwar gelten die Formeln:

${\begin{aligned}\xi -\xi ^{(h)}&\simeq \left(\Xi -\Xi _{(h)}\right)\left(\Xi -\Xi '_{(h)}\right)\cdots \left(\Xi -\Xi _{(h)}^{(r-1)}\right)\\&\simeq \left(\Xi -\Xi _{(h)}\right)\left(\Xi '-\Xi _{(h)}\right)\cdots \left(\Xi ^{(r-1)}-\Xi _{(h)}\right).\end{aligned}}$

Beweis: Ist

$F({\mathsf {X}})={\mathsf {X}}^{M}+F_{1}{\mathsf {X}}^{M-1}+\cdots +F_{M}=0$

die Fundamentalgleichung $M$-ten Grades des Körpers $K$, wobei $F_{1}$, …‚ $F_{M}$ ganzzahlige Funktionen von $U_{1}$, …‚ $U_{M}$ bedeuten, so gilt identisch in ${\mathsf {X}}$ die Gleichung

$\Phi _{0}^{m}F({\mathsf {X}})=\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi )\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi ')\cdots \Phi \left({\mathsf {X}},\,\xi ^{(m-1)}\right)$.

Die Differente der Fundamentalform $\Xi$ ist mithin wegen $\Phi (\Xi ,\,\xi )=0$ durch die Formel

$\Delta (\Xi )={\frac {\partial F(\Xi )}{\partial \Xi }}={\frac {1}{\Phi _{0}^{m}}}{\frac {\partial \Phi (\Xi ,\,\xi )}{\partial \Xi }}\Phi \left(\Xi ,\,\xi '\right)\cdots \Phi \left(\Xi ,\,\xi ^{(m-1)}\right)$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 97. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/114&oldid=- (Version vom 31.7.2018)