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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

am Schluß des § 91), so lassen sich zwei ganzzahlige Funktionen $G_{1}$, $G_{2}$ von $S$ und eine von $0$ verschiedene ganze rationale Zahl $a$ derart bestimmen, daß

$FG_{1}+(1+S+\cdots +S^{l-1})G_{2}=a$

wird. Hieraus folgt unter Berücksichtigung von

${\mathsf {E}}_{1}^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=\varepsilon ^{**}$

die Gleichung ${\mathsf {E}}_{1}^{a}=\varepsilon ^{***}$, welche unserer Annahme zuwider läuft; dabei bedeuten $\varepsilon ^{**}$ und $\varepsilon ^{***}$ Einheiten in $k$.

Nunmehr wähle man eine Einheit ${\mathsf {E}}_{2}$ so, daß ${\mathsf {E}}_{2}$, ${\mathsf {E}}_{1}$, ${\mathsf {E}}_{1}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{1}^{S^{l-2}}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$, ein System unabhängiger Einheiten bilden, und beweise dann in ähnlicher Weise, wie vorher, daß auch die Einheiten ${\mathsf {E}}_{2}$, ${\mathsf {E}}_{2}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{2}^{S^{l-2}}$, ${\mathsf {E}}_{1}$, ${\mathsf {E}}_{1}^{S}$, …, ${\mathsf {E}}_{1}^{S^{l-2}}$, $\varepsilon _{1}$, …‚ $\varepsilon _{r}$, unabhängige Einheiten sind. So fortfahrend, gelangen wir zu $r_{1}+r_{2}=r+1$ Einheiten ${\mathsf {E}}_{1}$, …‚ ${\mathsf {E}}_{r+1}$ von der Beschaffenheit, daß die Einheiten

${\mathsf {E}}_{i},{\mathsf {E}}_{i}^{S},\ldots ,{\mathsf {E}}_{i}^{S^{l-2}},\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{r}\qquad (i=1,2,\dots ,r+1)$

ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Die Zahl dieser Einheiten beträgt

$(r+1)(l-1)+r=lr_{1}+lr_{2}-1$.

Es sei nun $l^{m}$ eine so hohe Potenz von $l$, daß ein Ausdruck

${\mathsf {E}}_{1}^{F_{1}(S)}\dots {\mathsf {E}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ],$

(20)

in welchem $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ beliebige ganzzahlige Funktionen vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ bedeuten und $[\varepsilon ]$ die auf S. 150 erklärte Bedeutung hat, nicht anders eine $l^{m}$-te Potenz einer Einheit in $K$ werden kann, als wenn alle Koeffizienten der $r+1$ Funktionen $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ durch $l$ teilbar sind. Daß es eine solche Potenz $l^{m}$ stets geben muß‚ folgt, wenn man die $lr_{1}+lr_{2}-1$ nach Satz 47 existierenden Grundeinheiten des Körpers $K$ zu Hilfe zieht.

Wir berücksichtigen ferner die Identität

$(1-S)^{l}=1-S^{l}+lG(S)$,

in der $G$ eine ganzzahlige Funktion bedeutet; da hiernach die $(1-S)^{lm}$-te symbolische Potenz einer Zahl in $K$ zugleich auch eine $l^{m}$-te wirkliche Potenz ist, so folgt, daß der Ausdruck (20) nicht anders die $(1-S)^{lm}$-te symbolische Potenz einer Einheit werden kann, als wenn die ganzen algebraischen Zahlen $F_{1}(\zeta )$‚ …, $F_{r+1}(\zeta )$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sind.

Es sei nun $e_{1}$ die größte ganze rationale Zahl $\geqq 0$ von der Art, daß ein Ausdruck von der Gestalt (20) eine $(1-S)^{e_{1}}$-te symbolische Potenz einer Einheit ist, ohne daß sämtliche Zahlen $F_{1}(\zeta )$, …‚$F_{r+1}(\zeta )$ durch $1-\zeta$ teilbar sind; wir nehmen an, es sei ein solcher Ausdruck:

${\mathsf {E}}_{1}^{F_{1}(S)}\dots {\mathsf {E}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ]={\mathsf {H}}_{1}^{(1-S)^{e_{1}}}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 151. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/168&oldid=- (Version vom 31.7.2018)