Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/167

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Berücksichtigt man, daß nach Voraussetzung ist und folglich auch wird, so ergibt sich . Da eine rationale Funktion von ist, welche, wie leicht ersichtlich, nicht identisch für alle verschwindet, so kann man eine ganze rationale Zahl so wählen, daß , eine von verschiedene Zahl in wird. Die Zahl genügt dann der Gleichung . Setzen wir , wo eine ganze algebraische Zahl in und eine ganze rationale Zahl bedeutet, so ist auch .

§ 55. Das System von relativen Grundeinheiten und der Nachweis ihrer Existenz.

Ein zweiter wichtiger Satz über den Körper betrifft eine Eigenschaft der Einheiten in . Kommen unter den konjugierten Körpern, welche durch bestimmt sind, reelle Körper und Paare konjugiert imaginärer Körper vor, so ist nach Satz 47 die Zahl der Grundeinheiten in gleich . Wir definieren nun den Begriff eines Systems von relativen Grundeinheiten des Körpers bezüglich . Unter einem solchen System verstehen wir ein System von Einheiten , …, im Körper von der Eigenschaft, daß eine Einheit von der Gestalt nur dann die symbolische -te Potenz einer Einheit in werden kann, wenn die ganzen algebraischen Zahlen , …, sämtlich durch teilbar sind. Dabei bedeuten , …, ganzzahlige Funktionen von ; bedeutet eine beliebige Einheit des Körpers oder eine solche Einheit des Körpers , deren -te Potenz eine Einheit in ist; endlich bedeutet eine von verschiedene -te Einheitswurzel.

Satz 91. Wenn der Relativgrad des relativ-zyklischen Körpers in bezug auf den Körper eine ungerade Primzahl ist, so existiert in stets ein System von relativen Grundeinheiten, wobei für die Bedeutung wie in Satz 47 hat.

Beweis. Wegen kommen unter den durch bestimmten konjugierten Körpern , reelle Körper und imaginäre Paare von Körpern vor. Es sei , …‚ , ein System von Grundeinheiten des Körpers . Man wähle unter den Einheiten in eine solche Einheit aus, daß , , …, ein System von unabhängigen Einheiten bilden; dann müssen auch die Einheiten , , …, , , …, ein System unabhängiger Einheiten sein.

Zum Beweise hierfür machen wir die gegenteilige Annahme und denken uns , wo eine nicht identisch verschwindende ganzzahlige Funktion vom -ten Grade in und eine Einheit des Körpers bedeutet. Da die Funktion irreduzibel ist, (vgl. die Bemerkung

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 150. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/167&oldid=- (Version vom 31.7.2018)