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und diese Kongruenzen würden zur Folge haben, daß entweder oder durch teilbar ist, womit die obigen Festsetzungen im Widerspruch stehen.

Wenn wir berücksichtigen, daß in jeder Klasse ein Ideal gefunden werden kann, Welches zu ! prim ist, so folgt aus dem somit bewiesenen Hilfssatz 12, wie man leicht sieht, der Satz 89. Derselbe ist für den Fall des Kreiskörpers bereits von Kummer bewiesen worden [Kummer (6[1])].

15. Der relativ-zyklische Körper vom Primzahlgrade.

§ 54. Die symbolische Potenz, Der Satz von den Zahlen mit der Relativnorm .

Es soll jetzt über relativ Abelsche Körper eine Reihe fundamentaler Sätze abgeleitet werden. Um dieselben leichter aussprechen und beweisen zu können, schicken wir einige Bezeichnungen und Festsetzungen voraus.

Es sei ein Zahlkörper vom Grade ; derselbe sei relativ-zyklisch in bezug auf den Körper vom -ten Grade; der Relativgrad sei eine Primzahl. Die Substitutionen der zyklischen Relativgruppe seien . Endlich definieren wir den Begriff der symbolischen Potenz einer Zahl des Körpers , wie folgt: wenn eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl in ist und irgendwelche ganze rationale Zahlen bedeuten, so möge der Ausdruck

zur Abkürzung mit

bezeichnet werden, wo die auf der linken Seite im Exponenten von stehende ganzzahlige Funktion von bedeutet. Die symbolische -te Potenz von stellt hiernach stets wiederum eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers dar. Diese symbolische Potenzierung kann als Verallgemeinerung einer Bezeichnungsweise angesehen werden, welche Kronecker im Falle des Kreiskörpers eingeführt hat [Kronecker (1[2])].

Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Eigenschaften des relativ-zyklischen Körpers :

Satz 90. Jede ganze oder gebrochene Zahl in , deren Relativnorm in bezug auf gleich ist, wird die symbolische -te Potenz einer gewissen ganzen Zahl des Körpers .

Beweis. Es sei eine Veränderliche und eine den Körper bestimmende Zahl; dann setze man:

und

.

  1. [359] Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).[WS 1]
  2. [358] De unitatibus complexis. Dissertatio inauguralis. Berolini 1845. Werke 1, 5 (1845).

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 149. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/166&oldid=- (Version vom 31.7.2018)