Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/165

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Endlich bezeichnen wir die sämtlichen von verschiedenen und in der Diskriminante von oder in den Normen der Zahlen , , … aufgehenden rationalen Primzahlen, soweit sie größer als sind, mit , …, . Ist eine beliebige unter diesen, so muß, da sie in höchstens Primfaktoren enthalten kann, mindestens eine der () Zahlen, , , , …, zu prim sein; es sei etwa prim zu . Bestimmt man dann eine ganze rationale Zahl , welche den Kongruenzen nach für , , …, genügt, so ist

eine Zahl von der Eigenschaft, wie sie unser Hilfssatz 12 verlangt.

In der Tat: wegen der Kongruenz nach ist die Zahl prim zu allen denjenigen rationalen Primzahlen, welche sind; und andererseits ist auf Grund der Bestimmungsweise der Zahl prim zu allen denjenigen in enthaltenen rationalen Primzahlen, welche größer als sind. Die Zahl ist daher prim zu den von verschiedenen, in aufgehenden rationalen Primzahlen.

Ferner ist teilbar durch , aber nicht durch , , …, , da nach wird. Die Zahl ist in der Gestalt

,

darstellbar, wo , …, ganze rationale Zahlen bedeuten. Da nach ist und keiner ganzzahligen Kongruenz von niederem als dem -ten Grade nach genügen kann, so folgt, daß nicht durch teilbar ist.

Wäre ferner durch ein Primideal vom Grade teilbar, und seien , , , …, die Substitutionen der Zerlegungsgruppe von , durch welche diese aus der Trägheitsgruppe erzeugt wird, so müßten die Kongruenzen.

bestehen; diese würden zur Folge haben, daß die Diskriminante der Zahl durch teilbar ist, was nach dem Obigen nicht zutrifft.

Es sei endlich durch ein Primideal vom Grade teilbar; dann müßte einer der Körper , , , … Zerlegungskörper von sein; es sei dies etwa der Körper . Unter dieser Annahme setze man in die Gestalt

,

wo , …, Zahlen in bedeuten. Sind , , , …, die für zur Erzeugung seiner Zerlegungsgruppe aus seiner Trägheitsgruppe dienenden Substitutionen, so folgt

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 148. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/165&oldid=- (Version vom 31.7.2018)