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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.14

Endlich bezeichnen wir die sämtlichen von $p$ verschiedenen und in der Diskriminante $A$ von ${\mathsf {A}}$ oder in den Normen der Zahlen $\beta _{1}$, $\beta '_{1}$, … aufgehenden rationalen Primzahlen, soweit sie größer als $M$ sind, mit $q_{1}$, …, $q_{l}$. Ist $q_{i}$ eine beliebige unter diesen, so muß, da sie in $K$ höchstens $M$ Primfaktoren enthalten kann, mindestens eine der $q_{i}$($>M$) Zahlen, ${\mathsf {B}}$, ${\mathsf {B}}+1$, ${\mathsf {B}}+2$, …, ${\mathsf {B}}+q_{i}-1$ zu $q_{i}$ prim sein; es sei etwa $B+c_{i}$ prim zu $q_{i}$. Bestimmt man dann eine ganze rationale Zahl $c$, welche den $l$ Kongruenzen $M!pc\equiv c_{i}$ nach $q_{i}$ für $i=1$, $2$, …, $l$ genügt, so ist

$\Omega ={\mathsf {B}}+M!pc$

eine Zahl von der Eigenschaft, wie sie unser Hilfssatz 12 verlangt.

In der Tat: wegen der Kongruenz ${\mathsf {A}}\equiv 1$ nach $M!$ ist die Zahl $\Omega$ prim zu allen denjenigen rationalen Primzahlen, welche $\leqq M$ sind; und andererseits ist $\Omega$ auf Grund der Bestimmungsweise der Zahl $c$ prim zu allen denjenigen in $A$ enthaltenen rationalen Primzahlen, welche größer als $M$ sind. Die Zahl $\Omega$ ist daher prim zu den von $p$ verschiedenen, in $A$ aufgehenden rationalen Primzahlen.

Ferner ist $\Omega$ teilbar durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}'$, ${\mathfrak {P}}''$, …, ${\mathfrak {P}}^{(m)}$, da $M!b_{f}\equiv a_{f}\not \equiv 0$ nach $p$ wird. Die Zahl $\Omega$ ist in der Gestalt

$\Omega ={\mathsf {A}}^{f}+m_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +m_{f}$,

darstellbar, wo $m_{1}$, …, $m_{f}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Da ${\mathsf {A}}\equiv P$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ ist und ${\mathsf {P}}$ keiner ganzzahligen Kongruenz von niederem als dem $(2f)$-ten Grade nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ genügen kann, so folgt, daß $\Omega$ nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbar ist.

Wäre ferner $\Omega$ durch ein Primideal ${\mathfrak {Q}}$ vom Grade $f'>f$ teilbar, und seien $1$, $z'$, $z'^{2}$, …, $z'^{f'-1}$ die $f'$ Substitutionen der Zerlegungsgruppe von ${\mathfrak {Q}}$, durch welche diese aus der Trägheitsgruppe erzeugt wird, so müßten die $f'$ Kongruenzen.

${\begin{aligned}{\mathsf {A}}^{f}+m_{1}\qquad {\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +m_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\(z'{\mathsf {A}})^{f}+m_{1}(z'{\mathsf {A}})^{f-1}+\cdots +m_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\\vdots \qquad &\end{aligned}}$

bestehen; diese würden zur Folge haben, daß die Diskriminante $A$ der Zahl ${\mathsf {A}}$ durch ${\mathfrak {Q}}$ teilbar ist, was nach dem Obigen nicht zutrifft.

Es sei endlich $\Omega$ durch ein Primideal ${\mathfrak {Q}}$ vom Grade $f$ teilbar; dann müßte einer der Körper $k$, $k'$, $k''$, … Zerlegungskörper von ${\mathfrak {Q}}$ sein; es sei dies etwa der Körper $k'$. Unter dieser Annahme setze man $\Omega$ in die Gestalt

$\Omega =\Omega -\left({\mathsf {A}}^{f}+\alpha '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\alpha '_{f}\right)=\beta '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\beta '_{f}$,

wo $\beta '_{1}$, …, $\beta '_{f}$ Zahlen in $k'$ bedeuten. Sind $1$, $z'$, $z'^{2}$, …, $z'^{f-1}$ die $f$ für ${\mathfrak {Q}}$ zur Erzeugung seiner Zerlegungsgruppe aus seiner Trägheitsgruppe dienenden Substitutionen, so folgt

${\begin{aligned}\beta '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\beta '_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\\beta '_{1}(z'{\mathsf {A}})^{f-1}+\cdots +\beta '_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\\vdots \qquad &\end{aligned}}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 148. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/165&oldid=- (Version vom 31.7.2018)