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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.14

ganze Zahl $\Omega$ in $K$, welche durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbar ist, und deren übrige Primfaktoren sämtlich von niederem als dem $f$-ten Grade sind.

Beweis. Es sei ${\mathsf {P}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ von der Art, daß jede andere ganze Zahl $\Omega$ einer ganzzahligen Funktion von ${\mathsf {P}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ kongruent wird. Nach Satz 29 existiert eine solche Zahl ${\mathsf {P}}$ stets. Wir bezeichnen ferner die zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {P}}$ verschiedenen Primideale mit ${\mathfrak {P}}'$, ${\mathfrak {P}}''$, …‚ ${\mathfrak {P}}^{(m)}$ und bestimmen dann eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}&{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {P}},\qquad ({\mathfrak {P}}^{2})\\&{\mathsf {A}}\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {P}}'\,{\mathfrak {P}}''\,\ldots \,{\mathfrak {P}}^{(m)})\\&{\mathsf {A}}\equiv 1,\qquad (M!)\end{aligned}}$

genügt. Ist $z$ eine solche Substitution der zu ${\mathfrak {P}}$ gehörigen Zerlegungsgruppe, für welche $z{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ wird, so sind offenbar die $f-1$ Differenzen ${\mathsf {A}}-z{\mathsf {A}}$, ${\mathsf {A}}-z^{2}{\mathsf {A}}$, …, ${\mathsf {A}}-z^{f-1}{\mathsf {A}}$ zu ${\mathfrak {P}}$ prim. Ist ferner $s$ eine nicht zur Zerlegungsgruppe gehörige Substitution, so wird $s{\mathsf {A}}$ durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar, und folglich ist die Differenz ${\mathsf {A}}-s{\mathsf {A}}$ zu ${\mathfrak {P}}$ prim. Die Differente von ${\mathsf {A}}$ ist mithin zu ${\mathfrak {P}}$ prim, und daher folgt nach der Bemerkung auf S. 71, daß ${\mathsf {A}}$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl darstellt. Mit Rücksicht auf Satz 31 ist $K$ der Trägheitskörper von ${\mathfrak {P}}$, und daher genügt ${\mathsf {A}}$ einer Gleichung von der Gestalt:

${\mathsf {A}}^{f}+\alpha _{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\alpha _{f}=0$,

wo $\alpha _{1}$, …‚ $\alpha _{f}$ Zahlen im Zerlegungskörper $k$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ bedeuten. Die übrigen Unterkörper des Körpers $K$ vom nämlichen Grade $\textstyle {\frac {M}{f}}$ bezeichnen wir mit $k'$, $k''$, …; es genügt ${\mathsf {A}}$ dann auch den Gleichungen

${\begin{aligned}{\mathsf {A}}^{f}+\alpha '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}&+\cdots +\alpha '_{f}=0,\\{\mathsf {A}}^{f}+\alpha ''_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}&+\cdots +\alpha ''_{f}=0,\\&\vdots \end{aligned}}$

wo $\alpha '_{1}$, …, $\alpha '_{f}$ Zahlen in $k'$, $\alpha ''_{1}$, …, $\alpha ''_{f}$ Zahlen in $k''$ usf. sind. Nunmehr bestimme man $f$ ganze rationale Zahlen $a_{1}$, …‚ $a_{f}$ so, daß

$a_{1}\equiv \alpha _{1}$, …, $a_{f}\equiv \alpha _{f}$,  (${\mathfrak {P}}$)

wird; dies ist möglich, weil nach Satz 70 das Ideal ${\mathfrak {P}}$ in $k$ vom ersten Grade ist. Sodann seien $b_{1}$, …, $b_{f}$ solche $f$ ganze rationale Zahlen, welche den Kongruenzen

$M!b_{1}\equiv a_{1}$, …, $M!b_{f}\equiv a_{f}$,  ($p$)

genügen, und für welche überdies keine der zum Index 1 gehörigen Verbindungen

$\beta _{1}=M!b_{1}-\alpha _{1}$, $\beta '_{1}=M!b_{1}-\alpha '_{1}$, …

verschwindet. Wir setzen ferner

${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}^{f}+M!(b_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+b_{2}{\mathsf {A}}^{f-2}+\cdots +b_{f})$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 147. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/164&oldid=- (Version vom 31.7.2018)