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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.15

folgen, wo $b$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da $a_{r+2}$ bei unserer Annahme nicht auch durch $l$ teilbar sein darf, so würde aus der letzten Gleichung folgen, daß ${\mathsf {E}}$ in $k$ liegt, was nicht zutrifft. Die Einheit ${\mathsf {H}}$ erfüllt daher alle Bedingungen des Satzes 92.

Die Sätze 90, 91 und 92 sind zum Teil und in anderer Form bereits von Kummer für den Fall bewiesen worden, daß der Unterkörper $k$ der durch $\zeta$ bestimmte Kreiskörper $(l-1)$—ten Grades ist [Kummer (14^[1], 20^[2], 21^[3])].

§ 57. Die ambigen Ideale und die Relativdifferente des relativ-zyklischen Körpers $K$.

Wenn ein Ideal ${\mathfrak {A}}$ des relativ-zyklischen Körpers $K$ bei Anwendung der Substitution $S$ ungeändert bleibt und überdies keinen Faktor enthält, welcher ein Ideal in $k$ ist, so heißt ${\mathfrak {A}}$ ein ambiges Ideal. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers $K$, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution $S$ ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper $k$ liegt, ein ambiges Primideal.

Satz 93. Die Relativdifferente des relativ-zyklischen Körpers $K$ in bezug auf $k$ enthält alle und nur diejenigen Primideale ${\mathfrak {P}}$, welche ambig sind.

Beweis. Ist ${\mathfrak {P}}$ ein ambiges Ideal, so wird seine Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{l}$. Da nicht eine niedere Potenz von ${\mathfrak {P}}$ in $k$ liegen kann, so ist ${\mathfrak {P}}^{l}={\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $k$. Umgekehrt, wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$ gleich der $l$-ten Potenz eines Ideals ${\mathfrak {P}}$ in $K$ wird, so ist ${\mathfrak {P}}$ ein ambiges Primideal.

Wir unterscheiden nun dreierlei Arten von Primidealen ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$: erstens solche, die der $l$-ten Potenz eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ in $K$ gleich sind; zweitens solche, die in $l$ voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {P}}_{1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{l}$, des Körpers $K$ zerfallen, und drittens solche, die auch in $K$ Primideale sind.

Liegt der erste Fall vor, so setzen wir die Norm $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$; hieraus folgt $N({\mathfrak {p}})=N({\mathfrak {P}}^{l})=p^{lf}$, und mithin ist die Norm $n({\mathfrak {p}})$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ ebenfalls gleich $p^{f}$. Die Gleichheit der Normen $N({\mathfrak {P}})$ und $n({\mathfrak {p}})$ läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers $K$ einer gewissen ganzen Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent ist; aus diesem Umstande erkennt man leicht, daß die Relativdifferente von $K$ in bezug auf $k$ notwendig durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar ist.

Im zweiten Falle läßt sich in $K$ stets eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ finden, welche nicht durch ${\mathfrak {P}}_{i}$, wohl aber durch alle übrigen $l-1$ Primideale ${\mathfrak {P}}_{1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{i-1}$, ${\mathfrak {P}}_{i+1}$, …, ${\mathfrak {P}}_{l}$, teilbar ist, und aus diesem Umstande folgt, daß die Relativdifferente der Zahl ${\mathsf {A}}$ und daher auch die des Körpers $K$ nicht durch ${\mathfrak {P}}_{i}$ teilbar ist.

Was endlich die Primideale ${\mathfrak {p}}$ der dritten Art angeht, so sei ${\mathsf {P}}$ eine Primitivzahl nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $K$ und $\varrho$ eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$ in $k$, und zugleich

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1. Über eine besondere Art aus komplexen Einheiten gebildeter Ausdrücke. J. Math. 50 (1854).^{[WS 1]}
2. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 2]}
3. Zwei neue Beweise der allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.^{[WS 3]} Abgedruckt im J. Math. 100.^{[WS 4]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über eine besondere Art aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 50 (1854), S. 212–232 GDZ Göttingen
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
3. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1861, S. 81–122 Internet Archive
4. Kummer, Ernst Eduard: Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1861 (1862), S. 81–122 Internet Archive. Abgedruckt in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100, (1887) S. 10–50 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 154. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/171&oldid=- (Version vom 31.7.2018)