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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

gewiß stets ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ derart, daß $|n|=n({\mathfrak {j}})$ wird. Wir wählen nun in der durch ${\mathfrak {j}}$ bestimmten Idealklasse ein solches Ideal ${\mathfrak {j}}'$ aus, dessen Norm $n({\mathfrak {j}}')\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ ist, wo $d$ die Diskriminante des durch ${\sqrt {m}}$ bestimmten Körpers bedeutet. Dies ist nach Satz 50 stets möglich. Wir setzen dann ${\mathfrak {j}}'=\varkappa {\mathfrak {j}}$ und $n'=n\cdot n(\varkappa )$; dabei bedeutet $\varkappa$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$, und es wird $n'=\pm n({\mathfrak {j}}')$, wo das positive oder das negative Vorzeichen gilt, je nachdem $n\cdot n(\varkappa )$ positiv oder negativ ausfällt. Die ganze rationale Zahl $n'$ fällt daher insbesondere gewiß positiv aus, falls $m$ negativ ist. Da $d$ den Wert $m$ oder $4m$ hat, so ist gewiß $\left|n'\right|\leqq 2\left|{\sqrt {m}}\right|$, und hieraus folgt $\left|n'\right|<\left|m\right|$, sobald $2\left|{\sqrt {m}}\right|<\left|m\right|$, d. h. $\left|m\right|>4$ ist. Andererseits gilt wegen $n'=n\cdot n(\varkappa )$ die Gleichung $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n',\,m}{w}}\right)=+1$ und dann nach Formel $\left(c''\right)$ in Satz 98 auch $\textstyle \left({\frac {m,\,n'}{w}}\right)=+1$ für jede beliebige Primzahl $w$.

Wir machen nun die Annahme, daß der zu beweisende Satz 102 bereits für jeden Körper $k\left({\sqrt {m'}}\right)$ feststehe, bei welchem die bestimmende Zahl $m'$, mag sie positiv oder negativ sein, der Ungleichung $\left|m'\right|<\left|m\right|$ genügt. Sowie die vorhin gefundene Zahl $n'$ die Bedingung $\left|n'\right|<\left|m\right|$ erfüllt und keine Quadratzahl ist, muß dann, da. auch die Bedingung $\textstyle \left({\frac {m,\,n'}{w}}\right)=+1$ für jede beliebige Primzahl $w$ gilt, infolge der angenommenen Gültigkeit unseres Satzes 102, die Zahl $m$ die Norm einer Zahl $\alpha '$ im Körper $k\left({\sqrt {n'}}\right)$ sein, d. h. es gibt zwei ganze oder gebrochene rationale Zahlen $a$ und $b$ derart, daß $m=a^{2}-n'b^{2}$ wird; wenn aber $n'$ eine Quadratzahl ist, so versteht sich die Möglichkeit dieser Gleichung ohne weiteres. Da $b\neq 0$ sein muß, so folgt hieraus $\textstyle n'=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-m\left({\frac {1}{b}}\right)^{2}=n(\lambda )$, d. h. es ist $n'$ die Norm einer Zahl $\lambda$ im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$. Die Verbindung dieser Tatsache mit der Gleichung $n'=n\cdot n(\varkappa )$ ergibt $n=n(\alpha )$‚ wo $\textstyle \alpha ={\frac {\lambda }{\varkappa }}$ wieder eine Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ bedeutet.

Der vollständige Beweis unseres Satzes 102 wird hiernach offenbar geführt sein, sobald wir seine Richtigkeit für alle die Fälle erkannt haben, in denen $|m|\leqq 4$ und zugleich $|n|\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ statthat. Bei dieser Einschränkung der Zahlen $n$, $m$ treffen die Bedingungen des Satzes 102 nur in 8 Fällen zu. Die Gleichungen

${\begin{alignedat}{2}1&=n\left({\sqrt {-1}}\right),&-2&=n\left({\sqrt {2}}\right),\\2&=n\left(1+{\sqrt {-1}}\right),\qquad &2&=n\left({\sqrt {-2}}\right),\\2&=n\left(2+{\sqrt {2}}\right),&-2&=n\left(1+{\sqrt {3}}\right),\\-1&=n\left(1+{\sqrt {2}}\right),&-3&=n\left({\sqrt {3}}\right),\end{alignedat}}$

zeigen, daß in diesen 8 Fällen unser Satz 102 gültig ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 174. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/191&oldid=- (Version vom 31.7.2018)