Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/200

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

$a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{t}$, $a_{1}a_{2}$‚ …, $a_{t-1}a_{t}$, …‚ $a_{1}a_{2}\ldots a_{t}$ eine Quadratzahl wird, und sind $c_{1}$, $c_{2}$, …, $c_{t}$, nach Belieben vorgeschriebene Einheiten $+1$ oder $-1$, so gibt es stets unendlich viele rationale Primzahlen $p$, für die

$\left({\frac {a_{1}}{p}}\right)=c_{1}$, $\left({\frac {a_{2}}{p}}\right)=c_{2}$, …, $\left({\frac {a_{t}}{p}}\right)=c_{t}$

ist.

Beweis. Wir haben, solange $s>1$ ist:

${\begin{aligned}\log \sum \limits _{(n)}{\frac {1}{n^{s}}}&=\sum \limits _{(p)}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{s}}}+S,\\S&={\frac {1}{2}}\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{3s}}}+\cdots .\end{aligned}}$

Da der Ausdruck $S$, wie in § 50 gezeigt worden ist, für $s=1$ endlich bleibt, so folgt, daß die über alle rationalen Primzahlen $p$ erstreckte Summe

$\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{s}}}$

(26)

bei Annäherung von $s$ an $1$ über alle Grenzen wächst. Ist ferner $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl, so gilt ähnlich für $s>1$ stets:

${\begin{aligned}\log \prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}&=\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right){\frac {1}{p^{2}}}+S_{a},\\S_{a}&={\frac {1}{2}}\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right)^{2}{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right)^{3}{\frac {1}{p^{3s}}}+\cdots ;\end{aligned}}$

ist $a$ nicht eine Quadratzahl, so bleibt nach Satz 110 $\log \prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}$ für $s=1$ endlich, und da das gleiche von dem Ausdruck $S_{a}$ gilt, so folgt, daß dann auch die Summe

$\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right){\frac {1}{p^{s}}}$

(27)

für $s=1$ sich einer endlichen Grenze nähert. Wir setzen nun in (27)

$a=a_{1}^{u_{1}}a_{2}^{u_{2}}\cdots a_{t}^{u_{t}}$

ein und geben jedem der $t$ Exponenten $u_{1}$‚ $u_{2}$, …, $u_{t}$ den Wert $0$ oder $1$, jedoch so, daß das Wertsystem $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, $u_{t}=0$ ausgeschlossen bleibt. Wird dann jede so aus (27) herzuleitende Summe noch mit dem entsprechenden Faktor $c_{1}^{u_{1}}c_{2}^{u_{2}}\ldots c_{t}^{u_{t}}$ multipliziert, und werden die hervorgehenden $2^{t}-1$ Ausdrücke sämtlich zu (26) addiert, so entsteht:

$\sum \limits _{(p)}\left(1+c_{1}\left({\frac {a_{1}}{p}}\right)\right)\left(1+c_{2}\left({\frac {a_{2}}{p}}\right)\right)\cdots \left(1+c_{t}\left({\frac {a_{t}}{p}}\right)\right){\frac {1}{p^{s}}}$.

(28)

Diese Summe wird, ebenso wie (26), bei Annäherung von $s$ an $1$ über alle

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 183. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/200&oldid=- (Version vom 31.7.2018)