Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/201

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

Grenzen wachsen. Sehen wir von den Gliedern ab, die den in $a_{1}a_{2}\ldots a_{t}$ aufgehenden Primzahlen $p$ entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so ist im übrigen die Summe (28) gleich $2^{t}\sum _{(p')}{\frac {1}{p'^{s}}}$, wo $p'$ nur alle diejenigen Primzahlen $p$ durchläuft, für welche die im Satze 111 verlangten Bedingungen sämtlich erfüllt sind. Da mithin auch diese letzte Summe für $s=1$ über alle Grenzen wächst, so folgt, daß jene Primzahlen $p'$ in unendlicher Anzahl vorhanden sein müssen. Damit ist Satz 111 bewiesen.

§ 81. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Charakteren in einem quadratischen Körper.

Satz 112. Sind

$\chi _{1}({\mathfrak {j}})=\left({\frac {\pm n({\mathfrak {j}}),m}{l_{1}}}\right),\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {j}})=\left({\frac {\pm n({\mathfrak {j}}),m}{l_{r}}}\right)$

die $r$ Einzelcharaktere, welche das Geschlecht eines Ideals ${\mathfrak {j}}$ in $k$ bestimmen, und bedeuten $c_{1}$, …, $c_{r}$ beliebig angenommene, der Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ genügende $r$ Einheiten $\pm 1$‚ so gibt es stets unendlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$, für welche

$\chi _{1}({\mathfrak {p}})=c_{1},\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {p}})=c_{r}$

ist.

Beweis. In der Diskriminante $d$ des Körpers seien die $t$ rationalen Primzahlen $l_{1}$, …, $l_{t}$, enthalten. Es ist $t=r$ oder $r+1$; in letzterem Falle sei $\left({\frac {-1,m}{l_{t}}}\right)=-1$‚ und die Bedingung $\left({\frac {\pm n({\mathfrak {j}}),m}{l_{t}}}\right)=+1$ diene zur Bestimmung des Vorzeichens in $\pm n({\mathfrak {j}})$. Zugleich schreiben wir in diesem Falle $c_{t}=c_{r+1}=+1$. Wir beweisen nun zunächst, daß es unendlich viele rationale Primzahlen $p$ gibt, für welche

$\left({\frac {p,m}{l_{1}}}\right)=c_{1},\ldots ,\left({\frac {p,m}{l_{t}}}\right)=c_{t}$

ist, und unterscheiden zu dem Zweck drei Fälle, je nachdem $m\equiv 1$, $\equiv 3$, oder $\equiv 2$ nach $4$ ist.

Im ersten Falle gehen wir von den Forderungen

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1,\left({\frac {l_{1}}{p}}\right)=c_{1},\ldots ,\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{t}$

aus. Nach Satz 111 gibt es unendlich viele Primzahlen $p$, welche diesen Gleichungen genügen. Da die erste Gleichung auf $p\equiv 1$ nach $4$ hinauskommt, so wird für diese Primzahlen $p$ dann

$\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$

für $i=1,\ldots ,t$ gelten.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 184. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/201&oldid=- (Version vom 31.7.2018)