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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

nach dem Modul $\varrho +1$ die Kongruenz

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}\equiv ab^{\varrho M+M}b_{M}^{\varrho +1},$

$(\varrho +1).\qquad (3)$

Andrerseits ist, wenn mit $K$ bezüglich $k$ die größten absoluten Beträge bezeichnet werden, welche die Funktionen $zg(z)$ bezüglich $g(z)e^{-z}$ auf den geradlinigen Integrationsstrecken zwischen $z=0$ bis $z=\beta _{i}$ annehmen:

${\Bigg |}\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\Bigg |}<|\beta _{i}|kK^{\varrho }$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,M)$

und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung

$\varkappa =\left\{\left|\beta _{1}e^{\beta _{1}}\right|+\left|\beta _{2}e^{\beta _{2}}\right|+\cdots +\left|\beta _{M}e^{\beta _{M}}\right|\right\}k$

gesetzt wird, die Ungleichung

$\left|P_{2}\right|<\varkappa K^{\varrho }$.

(4)

Nun bestimme man eine ganze positive Zahl $\varrho$, welche erstens durch $abb_{M}$ teilbar ist und für welche zweitens ${\frac {\varkappa K^{\varrho }}{\varrho !}}<1$ wird. Es ist dann ${\frac {P_{1}}{\varrho !}}$ infolge der Kongruenz (3) eine nicht durch $\varrho +1$ teilbare und daher notwendig von $0$ verschiedene ganze Zahl, und da überdies ${\frac {P_{2}}{\varrho !}}$ infolge der Ungleichung (4), absolut genommen, kleiner als $1$ wird, so ist die Gleichung

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}+{\frac {P_{2}}{\varrho !}}=0$

unmöglich.

Es ist leicht zu erkennen, wie auf dem eingeschlagenen Wege ebenso einfach auch der allgemeinste Lindemannsche Satz über die Exponentialfunktion sich beweisen läßt.

Königsberg i. Pr., den 5. Januar 1893.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 4. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/21&oldid=- (Version vom 31.7.2018)