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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Man multipliziere diesen Ausdruck mit dem Integral

$\int _{0}^{\infty }=\int _{0}^{\infty }z^{\varrho }[g(z)]^{\varrho +1}e^{-z}dz,$

wo $\varrho$ wiederum eine ganze positive Zahl bedeutet und wo zur Abkürzung $g(z)=b^{M}f(z)$ gesetzt ist; dann ergibt sich

$a\int _{0}^{\infty }+e^{\beta _{1}}\int _{0}^{\infty }+e^{\beta _{2}}\int _{0}^{\infty }+\cdots +e^{\beta _{M}}\int _{0}^{\infty }$

und dieser Ausdruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücke:

${\begin{alignedat}{3}P_{1}=&a\int _{0}^{\infty }+&&e^{\beta _{1}}\int _{\beta _{1}}^{\infty }+e^{\beta _{2}}\int _{\beta _{2}}^{\infty }+\cdots +e^{\beta _{M}}\int _{\beta _{M}}^{\infty },\\P_{2}=&&&e^{\beta _{1}}\int _{0}^{\beta _{1}}+e^{\beta _{2}}\int _{0}^{\beta _{2}}+\cdots +e^{\beta _{M}}\int _{0}^{\beta _{M}},\end{alignedat}}$

wo allgemein das Integral $\int _{\beta _{i}}^{\infty }$ in der komplexen $z$-Ebene vom Punkte $z=\beta _{i}$ längs einer zur Achse der reellen Zahlen parallelen Geraden bis zu $z=+\infty$ hin und das $\int _{0}^{\beta _{i}}$ vom Punkte $z=0$ längs der geraden Verbindungslinie bis zum Punkte $z=\beta _{i}$ hin zu erstrecken ist.

Das Integral $\int _{0}^{\infty }$ ist wieder gleich einer ganzen rationalen durch $\varrho !$ teilbaren Zahl, und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul $\varrho +1$ die Kongruenz

${\frac {1}{\varrho !}}\int _{0}^{\infty }\equiv b^{\varrho M+M}b_{M}^{\varrho +1},$

$(\varrho +1).$

Mittels der Substitution $z=z'+\beta _{i}$ und wegen $g(\beta _{i})=0$ ergibt sich ferner

$e^{\beta _{i}}\int _{\beta _{i}}^{\infty }=\int _{0}^{\infty }(z'+\beta _{i})^{\varrho }[g(z'+\beta _{i})]^{\varrho +1}e^{-z'}dz'=(\varrho +1)!G(\beta _{i}),$

wo $G(\beta _{i})$ eine ganze ganzzahlige Funktion von $\beta _{i}$ bedeutet, deren Grad in $\beta _{i}$ unterhalb der Zahl $\varrho M+M$ bleibt und deren Koeffizienten sämtlich durch $b^{\varrho M+M}$ teilbar sind. Da $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{M}$ die Wurzeln der ganzzahligen Gleichung $f(z)=0$ sind und mithin durch Multiplikation mit dem ersten Koeffizienten $b$ zu ganzen algebraischen Zahlen werden, so ist

$G(\beta _{1})+G(\beta _{2})+\cdots +G(\beta _{M})$

notwendig eine ganze rationale Zahl. Hieraus folgt, daß der Ausdruck $P_{1}$ gleich einer ganzen rationalen durch $\varrho !$ teilbaren Zahl wird, und zwar gilt

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 3. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/20&oldid=- (Version vom 8.12.2022)