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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

unabhängig voneinander durchlaufen sollen; dann stellt dieses System von $\Phi (pp'\ldots )$ Zahlen nach Satz 88 eine Basis des Körpers $k({\mathsf {Z}})$ dar, und diese Basis ist offenbar eine Normalbasis. Nach dem Hilfssatz 20 besitzt folglich auch der Abelsche Körper $K$ eine Normalbasis. Damit ist der Satz 132 bewiesen.

§ 106. Der Abelsche Körper vom Primzahlgrade $l$ und von der Diskriminante $p^{l-1}$. Die Wurzelzahlen dieses Körpers.

Die einfachsten und wichtigsten Abelschen Körper nächst den quadratischen Körpern sind diejenigen, bei welchen der Grad eine ungerade Primzahl $l$ ist und die Diskriminante $d$ nur eine einzige, und zwar von $l$ verschiedene Primzahl $p$ enthält. Es bedeute $k$ einen solchen Körper. Nach Hilfssatz 16 besitzt die Primzahl $p$ notwendig die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l$. Die Primzahl $p$ wird im Körper $k$ die $l$-te Potenz eines Primideales ersten Grades. Nach den Bemerkungen zu Satz 79 und mit Rücksicht darauf, daß $k$ jedenfalls ein reeller Körper, also $d$ positiv ist, ergibt sich $d-p^{l-1}$.

Es seien $1$, $t$, $t^{2}$, …, $t^{l-1}$ die Substitutionen der Gruppe des Körpers $k$, und die Zahlen $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ mögen eine Normalbasis von $k$ bilden (siehe Satz 132). Die Zahl $v$ ist dann jedenfalls eine den Körper $k$ bestimmende in Zahl. Es werde $\textstyle \zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2\pi i}{l}}$ gesetzt; der Ausdruck

$\Omega =v+\zeta \cdot tv+\zeta ^{2}\cdot t^{2}v+\cdots +\zeta ^{l-1}\cdot t^{l-1}v$

soll eine Wurzelzahl des Körpers $k-k(v)$ heißen.

Jede solche Wurzelzahl $\Omega$ ist offenbar eine ganze Zahl des aus $k(v)$ und $k(\zeta )$ zusammengesetzten Körpers $k(v,\,\zeta )$. Das Studium der vorhandenen Normalbasen und Wurzelzahlen des Abelschen Körpers $k(v)$ gibt uns wichtige Aufschlüsse über die in $p$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$. Die Ausführungen dieses Kapitels erfahren nur leichte Abänderungen, wenn statt der ungeraden Primzahl $l$ die Zahl $2$ genommen wird.

§ 107. Die charakteristischen Eigenschaften der Wurzelzahlen.

Satz 133. Es sei ein Abelscher Körper $k$ vom Grade $l$ und mit der Diskriminante $d=p^{l-1}$ vorgelegt, wo $l$ und $p$ verschiedene ungerade Primzahlen bedeuten; ferner sei $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ eine Normalbasis dieses Körpers $k$.

Wird dann $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ gesetzt, wo $r$ eine Primitivzahl nach $l$ bedeute, so besitzt die aus jener Normalbasis entspringende Wurzelzahl $\Omega$ des Körpers $k=k(v)$ die folgenden drei Eigenschaften:

Erstens. Die $l$-te Potenz der Wurzelzahl, $\omega =\Omega ^{l}$, ist eine Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$, und zudem wird $\omega ^{s-r}$ gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl des Körpers $k(\zeta )$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 218. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/235&oldid=- (Version vom 18.8.2016)