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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Wählen wir zunächst $l=l_{1}$ und setzen dementsprechend $h=h_{1}$, $e=e_{1}$, $l^{h_{1}-1}(l_{1}-1)=e_{1}f_{1}$, so folgt aus dem eben angegebenen Umstande die Formel:

$\prod _{(u_{1})}\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}=\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{2},u_{3},\ldots } ^{p}\right]^{f_{1}}p^{-sf_{1}}\right\}^{e_{1}}$,

wo das Produkt über die in (53) bezeichneten Werte von $u_{1}$ zu erstrecken ist. Wählen wir ferner $l=l_{2}$ und setzen dementsprechend $h=h_{2}$, $e=e_{2}$, $l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)=e_{2}f_{2}$, so folgt, wenn $f_{12}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $f_{1}$, $f_{2}$ bezeichnet:

${\begin{aligned}\prod _{(u_{1},u_{2})}&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}\\=&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{3},u_{4},\ldots } ^{p}\right]^{f_{12}}p^{-sf_{12}}\right\}^{\frac {e_{1}e_{2}f_{1}f_{2}}{f_{12}}},\end{aligned}}$

wo das Produkt sich über die in (53) bezeichneten Werte von $u_{1}$, $u_{2}$ erstreckt, und ebenso wird weiterhin, wenn $f_{12\ldots }$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $f_{1}$, $f_{2}$, … bezeichnet:

${\begin{aligned}\prod _{(u_{1},u_{2},\ldots )}&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}\\=&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*}} ^{p}\right]^{f_{12\ldots }}p^{-sf_{12\ldots }}\right\}^{\frac {e_{1}e_{2}\ldots f_{1}f_{2}\ldots }{f_{12\ldots }}},\end{aligned}}$

wo das Produkt über alle in (53) bezeichneten Werte $u_{1}$, $u_{2}$, … zu erstrecken ist.

Es sei ferner $p\equiv \pm 5^{p'}$ nach $2^{h^{*}}$, es bedeute $e^{*}$ den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $p'$ und $2^{h^{*}-2}$, und es werde $2^{h^{*}-2}=e^{*}f^{*}$ gesetzt; dann ist offenbar $\left[{\frac {p}{2^{h^{*}}}}\right]$ genau eine $f^{*}$-te und nicht eine niedere Einheitswurzel. Wir erhalten infolgedessen, wenn $f_{12\ldots }^{*}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $f^{*}$, $f_{1}$, $f_{2}$ … bezeichnet:

${\begin{aligned}\prod _{(u^{*};u_{1},u_{2},\ldots )}&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}\\=&\left\{1-\left[{\frac {p}{2^{2}}}\right]^{uf_{12\ldots }^{*}}p^{-sf_{12\ldots }^{*}}\right\}^{\frac {e^{*}e_{1}e_{2}\ldots f^{*}f_{1}f_{2}\ldots }{f_{12\ldots }^{*}}},\end{aligned}}$

wo nun das Produkt auch über die in (53) bezeichneten Werte von $u^{*}$ zu nehmen ist.

Endlich sei ${\bar {e}}$ der größte gemeinsame Teiler von ${\frac {p-1}{2}}$ und $2$, und man setze $2={\bar {e}}{\bar {f}}$; aus der letzten Formel folgt dann, wenn $F$ das kleinste gemeinsame

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 239. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/256&oldid=- (Version vom 8.8.2016)