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Formel und sind also der erste und der zweite Faktor der Klassenanzahl in dem früheren Sinne; im gegenwärtigen Falle sind beide Faktoren der Klassenanzahl für sich ganze rationale Zahlen. Der zweite Faktor stellt die Klassenanzahl des in enthaltenen reellen Unterkörpers vom -ten Grade dar. Kummer hat über diese zwei Faktoren noch weitere Sätze aufgestellt, welche ihre Teilbarkeit durch betreffen [Kummer (25[1])]. Der Versuch Kroneckers, diese Sätze rein arithmetisch zu beweisen, weist einen Irrtum auf, und die von Kronecker gegebene Verallgemeinerung ist nicht richtig [Kronecker (11[2])]. Außerdem hat Kummer noch nach einer anderen Richtung hin Untersuchungen über die Bedeutung und die Eigenschaften dieser zwei Faktoren angestellt [Kummer (13[3])]. Man vergleiche ferner Kap. 36. Endlich hat Kummer den Satz behauptet, daß die Klassenanzahl eines jeden in enthaltenen Unterkörpers in der Klassenanzahl des Körpers aufgeht. Der von ihm versuchte Beweis hierfür ist jedoch nicht stichhaltig [Kummer (7[4])].

§ 118. Die Ableitung der aufgestellten Ausdrücke für die Klassenanzahl des Kreiskörpers .

Um den Satz 141 zu beweisen, fassen wir sogleich den kompliziertesten Fall ins Auge, in welchem durch teilbar ist, und stellen den folgenden Hilfssatz auf:

Hilfssatz 22. Ist eine beliebige rationale Primzahl und eine durch teilbare Zahl, so gilt unter Anwendung der in Satz 141 erklärten Bezeichnungen für reelle Werte die Formel:

,

wo das Produkt linker Hand über alle verschiedenen Primideale des Kreiskörpers zu erstrecken ist, welche in der Primzahl enthalten sind, und wo das Produkt rechter Hand über alle in (53) angegebenen Wertsysteme (das System einbegriffen) genommen werden soll.

Beweis. Es sei zunächst eine in nicht aufgehende Primzahl; es sei eine der ungeraden Primzahlen , , … und die Potenz, zu der sie in aufgeht, ferner eine Primitivzahl nach und nach . Bedeutet den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen und und wird gesetzt, so ist das Symbol offenbar genau eine -te und nicht eine niedere Einheitswurzel.


  1. [360] Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung gebildeten komplexen Zahlen und über den zweiten Faktor der Klassenzahl. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1870.[WS 1]
  2. [359] Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).
  3. [359] Über die Irregularität der Determinanten. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1853.[WS 2]
  4. [359] Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Klassen für die aus -ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen und die idealen Faktoren derselben. J. Math. 40 (1850).[WS 3]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung gebildeten complexen Zahlen und über den zweiten Faktor der Klassenzahl, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1870, S. 855–880 Berlin-Brandenburgische Akademie
  2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Irregularität der Determinanten, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1853, S. 194–200 Berlin-Brandenburgische Akademie
  3. Kummer, Ernst Eduard: Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Classen für die aus -ten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen und die idealen Factoren derselben, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 93–116 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 238. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/255&oldid=- (Version vom 31.7.2016)