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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Endlich bedeutet $\log {\mathsf {A}}_{n}$ den reellen Wert des Logarithmus der Kreiskörperzahl

${\mathsf {A}}_{n}={\sqrt {\left(1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi n}{m}}\right)\left(1-\mathrm {e} ^{\frac {-2i\pi n}{m}}\right)}}$

und $R$ den Regulator des Kreiskörpers [Kummer (22^[1], 23^[2])].

Die zwei Brüche im zweiten Ausdrucke für $H$ hat Kummer den ersten und den zweiten Faktor der Klassenanzahl genannt. Das Doppelte des ersten Faktors einerseits und andererseits der zweite Faktor der Klassenanzahl sind stets für sich ganze rationale Zahlen [Kronecker (9^[3])].

Auf Grund des zweiten Ausdrucks für $H$ hat Weber bewiesen, daß die Klassenanzahl des Kreiskörpers der $2^{h^{*}}$-ten Einheitswurzeln stets eine ungerade Zahl ist [Weber (1^[4], 4^[5])].

Der zweite Ausdruck für $H$ gestattet noch weitere Umformungen. Im Falle, daß $m=l$ eine ungerade Primzahl ist, wird durch eine kleine Rechnung die Richtigkeit des folgenden Satzes erkannt:

Satz 142. Ist $l$ eine ungerade Primzahl, so stellt sich die Klassenanzahl $h$ des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln, wie folgt, dar:

$h={\frac {\displaystyle \prod _{(u)}\sum _{(n)}n\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi n'u}{l-1}}}{(2l)^{\frac {l-3}{2}}}}\cdot {\frac {\Delta }{R}}2^{\frac {l-3}{2}}$.

Hierin ist das Produkt $\textstyle \prod \limits _{(u)}$ über die ungeraden Zahlen $u=1,\,3,\,5,\,\ldots ,\,l-2$ und jede einzelne Summe $\textstyle \sum \limits _{(n)}$ über die Zahlen $n=l,\,2,\,3,\,\ldots ,\,l-1$ zu erstrecken; ferner ist eine Primitivzahl $r$ nach $l$ zugrunde gelegt und man hat unter $n'$ eine solche zu $n$ gehörige ganze rationale Zahl zu verstehen, für welche $r^{n'}\equiv n$ nach $l$ wird. $\Delta$ bedeutet die Determinante

$(-1)^{\frac {(l-3)(l-5)}{8}}{\begin{vmatrix}\log \varepsilon _{1},&\log \varepsilon _{2},&\ldots ,&\log \varepsilon _{\frac {l-3}{2}}\\\log \varepsilon _{2},&\log \varepsilon _{3},&\ldots ,&\log \varepsilon _{\frac {l-1}{2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\log \varepsilon _{\frac {l-3}{2}},&\log \varepsilon _{\frac {l-1}{2}},&\ldots ,&\log \varepsilon _{l-4}\end{vmatrix}}$

und dabei ist allgemein $\log \varepsilon _{g}$ der reelle Wert des Logarithmus der Einheit

$\varepsilon _{g}={\sqrt {{\frac {1-\zeta ^{r^{g}}}{1-\zeta ^{r^{g-1}}}}{\frac {1-\zeta ^{-r^{g}}}{1-\zeta ^{-r^{g-1}}}}}}$,

wo $\zeta$ für $\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ steht [Kummer (7^[6], 11^[7]), Dedekind (1^[8])].

Die zwei Brüche hier in dem Ausdruck für $h$ entstehen aus den zwei Brüchen in der oben gegebenen, auf den allgemeinen Fall bezüglichen

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1. Über die Klassenanzahl der aus $n$-ten Einheitswurzeln gebildeten komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.^{[WS 1]}
2. Über die Klassenanzahl der aus zusammengesetzten Einheitswurzeln gebildeten idealen komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1863.^{[WS 2]}
3. Über die Klassenanzahl der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. Werke 1, 123 (1863).
4. Theorie der Abelschen Zahlkörper. Acta Math. 8 u. 9 (1886), (1887).^{[WS 3]}
5. Lehrbuch der Algebra. 2. Braunschweig 1896.^{[WS 4]}
6. Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Klassen für die aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen und die idealen Faktoren derselben. J. Math. 40 (1850).^{[WS 5]}
7. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
8. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 6]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Klassenanzahl der aus $n$-ten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1861, S. 1051–1053 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Klassenanzahl der aus zusammengesetzten Einheitswurzeln gebildeten idealen complexen Zahlen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1863, S. 21–28 Berlin-Brandenburgische Akademie
3. Weber, Heinrich: Theorie der Abel’schen Zahlkörper, in: Acta Mathematica, Band 8 (1886) S. 193–263 Internet Archive und Band 9 (1887) S. 105–130 Internet Archive
4. Weber, Heinrich: Lehrbuch der Algebra, Band 2 (1896) Internet Archive
5. Kummer, Ernst Eduard: Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Classen für die aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen und die idealen Factoren derselben, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 93–116 GDZ Göttingen
6. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 237. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/254&oldid=- (Version vom 24.7.2016)