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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 3

statt einer jeden Zahl eine konjugierte Zahl einsetzen. Sind insbesondere alle aus einem vorgelegten Ideal ${\mathfrak {a}}$ auf diese Weise entstehenden $n-1$ konjugierten Ideale mit dem vorgelegten Ideal ${\mathfrak {a}}$ identisch, so nenne ich das Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein ambiges Ideal. Dieser Begriff des ambigen Ideals ist ein wesentliches Hilfsmittel meines Beweises. Von einem ambigen Ideal gilt der Satz:

I. Wenn ein ambiges Ideal ${\mathfrak {a}}\equiv 0$ nach einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist, so sind alle Zahlen von ${\mathfrak {a}}$ durch $p^{\frac {1}{n}}$ teilbar, wo $p$ die zu ${\mathfrak {p}}$ gehörige Primzahl bedeutet.

In der Tat, wenn $\alpha$ eine Zahl des Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist, so gehören auch die zu $\alpha$ konjugierten Zahlen dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ an; dieselben sind folglich sämtlich $\equiv 0$ nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$. Nun sei

$\alpha ^{n}+a_{1}\alpha ^{n-1}+a_{2}\alpha ^{n-2}+\cdots +a_{n}=0$

die Gleichung $n$-ten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}$, welcher die Zahl $\alpha$ genügt. Diese Koeffizienten sind als homogene Funktionen der Wurzeln der Gleichung ebenfalls $\equiv 0$ nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ und mithin nach Satz 5 durch $p$ teilbar. Die Zahl $\textstyle \beta ={\frac {\alpha }{p^{\frac {1}{n}}}}$ genügt der Gleichung

$\beta ^{n}+{\frac {a_{1}}{p}}p^{\frac {n-1}{n}}\beta ^{n-1}+{\frac {a_{2}}{p}}p^{\frac {n-2}{n}}\beta ^{n-2}+\cdots +{\frac {a_{n}}{p}}=0$

und da die Koeffizienten dieser Gleichung sämtlich ganze algebraische Zahlen sind, so ist auch $\beta$ eine ganze algebraische Zahl.

Ferner läßt sich für ein ambiges Ideal leicht die Richtigkeit des folgenden Satzes erkennen:

II. Wenn ein ambiges Ideal ${\mathfrak {a}}\equiv 0$ nach einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist, so gibt es immer eine rationale Zahl $r$ von der Art, daß die Zahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$ durch $p^{r}$, aber nicht sämtlich durch eine höhere ganze oder gebrochene Potenz von $p$ teilbar sind.

Zum Beweise wähle man eine beliebige Zahl $\alpha$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$; dieselbe genüge der Gleichung $n$-ten Grades

$\alpha ^{n}+a_{1}\alpha ^{n-1}+a_{2}\alpha ^{n-2}+\cdots +a_{n}=0,$

wo allgemein $a_{i}$ eine ganze rationale Zahl bedeutet, welche durch die ganze Potenz $p^{g_{i}}$, aber durch keine höhere Potenz von $p$ teilbar ist. Die kleinste der Zahlen ${\tfrac {g_{1}}{1}},\,{\tfrac {g_{2}}{2}},\,\ldots ,\,{\tfrac {g_{n}}{n}}$ werde $r_{\alpha }$ genannt. In allen anderen Zahlen $\alpha ',\,a'',\,\ldots$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ denke man sich in gleicher Weise die zugehörigen rationalen Zahlen $r_{\alpha '},\,r_{\alpha ''},\,\ldots$ bestimmt. Da die Nenner dieser rationalen Zahlen die Zahl $n$ nicht übersteigen, so gibt es unter ihnen notwendig eine kleinste Zahl; ist etwa $r_{\alpha }$ diese kleinste Zahl, dann erfüllt die Zahl $r=r_{\alpha }$ die Bedingungen des Satzes. Denn erstens sind offenbar sämtliche Zahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$ durch $p^{r_{\alpha }}$ teilbar. Zweitens nehmen wir an, es wären sämtliche Zahlen des

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 9. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/26&oldid=- (Version vom 31.7.2018)