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des Körpers nach kongruent gesetzt werden kann; setzen wir insbesondere nach , wo in liegen soll, so folgt nach , und da eine Zahl in ist, so muß auch nach sein, d. h. es gilt . Damit ist zugleich für ein von verschiedenes Primideal der letzte Teil des Satzes 149 vollständig bewiesen.

Was endlich das Primideal anbetrifft, so gilt, falls die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf durch nicht teilbar ist, für die Zahl dem Satze 148 gemäß eine Kongruenz von der Gestalt

, ,

wo eine ganze rationale Zahl bedeutet. Soll nun , d. h. durch teilbar sein, so folgt daraus eine Kongruenz von der Gestalt

, ,

wo wiederum eine ganze rationale Zahl bedeutet. Ist hierin nicht durch teilbar, so setzen wir ; ist dagegen durch teilbar, so setzen wir , dann folgt

, .

Demnach genügt die Zahl stets einer Kongruenz

, ,

wo nun eine ganze rationale, nicht durch teilbare Zahl bedeutet, und hieraus folgt, wenn und

gesetzt wird, für die Zerlegung

.

Wegen

ist von verschieden, und daher sind auch alle Primideale , , …, untereinander verschieden.

Umgekehrt, wenn eine Zerlegung dieser Art im Kummerschen Körper gestattet, so stimmen nach einer oben gemachten und, wie dort erwähnt, auch für zutreffenden Bemerkung die Normen von in und von in überein, und es muß daher jede ganze Zahl des Körpers einer ganzen Zahl des Körpers nach kongruent sein. Da alsdann nach Satz 93 gewiß nicht in der Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf enthalten ist, so können wir nach Satz 148 nach setzen, und demgemäß ist eine ganze Zahl. Da ein Primideal

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 256. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/273&oldid=- (Version vom 11.9.2016)