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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

des Körpers $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent gesetzt werden kann; setzen wir insbesondere ${\mathsf {M}}^{*}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {P}}$, wo $\alpha$ in $k(\zeta )$ liegen soll, so folgt ${\mathsf {M}}^{*l}=\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {P}}$, und da $\mu ^{*}-\alpha ^{l}$ eine Zahl in $k(\zeta )$ ist, so muß $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$ auch nach ${\mathfrak {p}}$ sein, d. h. es gilt $\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$. Damit ist zugleich für ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ der letzte Teil des Satzes 149 vollständig bewiesen.

Was endlich das Primideal ${\mathfrak {l}}$ anbetrifft, so gilt, falls die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ durch ${\mathfrak {l}}$ nicht teilbar ist, für die Zahl $\mu ^{*}$ dem Satze 148 gemäß eine Kongruenz von der Gestalt

$\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}+a\lambda ^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+1})$,

wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Soll nun $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, d. h. $a$ durch $l$ teilbar sein, so folgt daraus eine Kongruenz von der Gestalt

$\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}+a^{*}\lambda ^{l+1}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$,

wo $a^{*}$ wiederum eine ganze rationale Zahl bedeutet. Ist hierin $a^{*}$ nicht durch $l$ teilbar, so setzen wir $\mu ^{**}=\mu ^{*}$; ist dagegen $a^{*}$ durch $l$ teilbar, so setzen wir $\mu ^{**}=(1+\lambda )^{l}\mu ^{*}=(1-\lambda ^{2})^{l}\mu ^{*}$, dann folgt

$\mu ^{**}\equiv \alpha ^{l}+\lambda ^{l+1}\alpha ^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$.

Demnach genügt die Zahl $\mu ^{**}$ stets einer Kongruenz

$\mu ^{**}\equiv \alpha ^{l}+a^{**}\lambda ^{l+1}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$,

wo nun $a^{**}$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet, und hieraus folgt, wenn ${\mathsf {M}}^{**}={\sqrt[{l}]{\mu ^{**}}}$ und

${\mathfrak {L}}=\left(\lambda ,{\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{**}}{\lambda }}\right)$

gesetzt wird, für ${\mathfrak {l}}$ die Zerlegung

${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}\cdot S{\mathfrak {L}}\cdots S^{l-1}{\mathfrak {L}}$.

Wegen

$\left(\lambda ,{\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{**}}{\lambda }},{\frac {\alpha -\zeta {\mathsf {M}}^{**}}{\lambda }}\right)=1$

ist $S{\mathfrak {L}}$ von ${\mathfrak {L}}$ verschieden, und daher sind auch alle $l$ Primideale ${\mathfrak {L}}$, $S{\mathfrak {L}}$, …, $S^{l-1}{\mathfrak {L}}$ untereinander verschieden.

Umgekehrt, wenn ${\mathfrak {l}}$ eine Zerlegung dieser Art im Kummerschen Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ gestattet, so stimmen nach einer oben gemachten und, wie dort erwähnt, auch für ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {l}}$ zutreffenden Bemerkung die Normen von ${\mathfrak {L}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ und von ${\mathfrak {l}}$ in $k(\zeta )$ überein, und es muß daher jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer ganzen Zahl des Körpers $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {L}}$ kongruent sein. Da ${\mathfrak {l}}$ alsdann nach Satz 93 gewiß nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ enthalten ist, so können wir nach Satz 148 $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ setzen, und demgemäß ist ${\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }}$ eine ganze Zahl. Da ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 256. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/273&oldid=- (Version vom 11.9.2016)