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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

Beweis. Nach dem Beweise des Hilfssatzes 23 ist jede ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in der Gestalt

${\mathsf {A}}={\frac {\gamma +\gamma _{1}({\mathsf {M}}-1)+\cdots +\gamma _{l-1}({\mathsf {M}}-1)^{l-1}}{\delta }}$

und folglich auch in der Gestalt

${\mathsf {A}}={\frac {\beta +\beta _{1}{\mathsf {M}}+\cdots +\beta _{l-1}{\mathsf {M}}^{l-1}}{\delta }}$

darstellbar, so daß $\gamma$, $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{l-1}$, $\delta$ und $\beta$, $\beta _{1}$, …, $\beta _{l-1}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind und überdies $\delta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ausfällt. Infolge des letzteren Umstandes können wir

${\mathsf {A}}\equiv \alpha +\alpha _{1}{\mathsf {M}}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {M}}^{l-1}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$

setzen in solcher Weise, daß $\alpha$, $a_{1}$, …, $\alpha _{l-1}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind. Es sei nun

$\alpha \equiv a^{*}$, $\alpha _{1}\equiv a_{1}^{*},\ldots ,\alpha _{l-1}\equiv a_{l-1}^{*}$, $({\mathfrak {l}})$,

wo $a^{*}$, $a_{1}^{*}$, …, $a_{l-1}^{*}$ ganze rationale positive Zahlen bedeuten sollen; wir setzen

$f^{*}(x)=a^{*}+a_{1}^{*}x+\cdots +a_{l-1}^{*}x^{l-1}$.

Da in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ sich ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$ und ${\mathsf {M}}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {L}}$ erweist, so folgt

${\mathsf {A}}\equiv \alpha +\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{l-1}\equiv a^{*}+a_{1}^{*}+\cdots +a_{l-1}^{*}$, $({\mathfrak {L}})$.

Ist nun ${\mathsf {A}}$ die vorausgesetzte Zahl, für welche $N_{k}({\mathsf {A}})\equiv \nu$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ wird, so erhalten wir weiter

$\nu \equiv N_{k}({\mathsf {A}})\equiv a^{*}+a_{1}^{*}+\cdots +a_{l-1}^{*}\equiv 1$, $({\mathfrak {L}})$,

also auch

$a^{*}+a_{1}^{*}+\cdots +a_{l-1}^{*}\equiv 1$, $(l)$.

Folglich ist $f^{*}(\zeta )$ eine Zahl in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $f^{*}(\zeta )\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$. Wir finden nun mit Rücksicht hierauf leicht eine ganze rationale positive Zahl $b$ derart, daß die Norm der Zahl $f(\zeta )=f^{*}(\zeta )+lb$ im Körper $k(\zeta )$ der Kongruenz

$n(f(\zeta ))\equiv 1$, $(l^{2})$

(89)

genügt; dann erfüllt die ganzzahlige Funktion

$f(x)=f^{*}(x)+lb=a+a_{1}x+\cdots +a_{l-1}x^{l-1}$

die Bedingungen des zu beweisenden Hilfssatzes 25. Denn es ist offenbar ${\mathsf {A}}=f(M)+\lambda {\mathsf {B}}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ bedeutet. Hieraus ergibt sich leicht durch eine ähnliche Betrachtung wie auf S. 263:

$\nu \equiv N_{k}({\mathsf {A}})\equiv N_{k}{\big (}f({\mathsf {M}}){\big )}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

(90)

Andererseits erkennen wir unter Berücksichtigung der Kongruenzen

$a^{l}\equiv a$, $a_{1}^{l}\equiv a_{1},\ldots ,a_{l-1}^{l}\equiv a_{l-1},$ $(l)$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 269. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/286&oldid=- (Version vom 10.11.2016)