Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/308

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

§ 144. Die ambigen Ideale und die ambigen Idealklassen eines regulären Kummerschen Körpers.

Es sei $k(\zeta )$ ein regulärer Kreiskörper, und $\mu$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nicht gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ ist; der durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmte reguläre Kummersche Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ werde mit $K$ bezeichnet. Wir suchen nunmehr die Theorie dieses Körpers mittelst der entsprechenden Begriffe und Methoden zu fördern, wie sie in den Kapiteln 17 bis 18 in der Theorie des quadratischen Körpers angewandt worden sind.

Die Relativgruppe von $K$ in bezug auf $k(\zeta )$ wird durch die Potenzen der Substitution $S=({\mathsf {M}}:\zeta {\mathsf {M}})$ gebildet; es werde gemäß § 57 ein Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Körpers $K$ ein ambiges Ideal genannt, wenn ${\mathfrak {A}}$ bei Anwendung der Operation $S$ ungeändert bleibt, d. h. $S{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}$ ist, und wenn außerdem ${\mathfrak {A}}$ kein von $1$ verschiedenes Ideal des Körpers $k(\zeta )$ als Faktor enthält. Nach Satz 93 sind die $t$ in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale sämtlich ambig, und es gibt außer diesen auch keine anderen ambigen Primideale. Ist sodann ${\mathfrak {A}}$ ein beliebiges ambiges Ideal in $K$, so schließen wir aus ${\mathfrak {A}}=S{\mathfrak {A}}$ leicht (vgl. § 73), daß auch jedes in ${\mathfrak {A}}$ aufgehende Primideal des Körpers $K$ ambig sein muß, und daraus folgt dann, daß die Anzahl aller vorhandenen ambigen Ideale $l^{t}$ beträgt.

Ist ${\mathfrak {C}}$ ein Ideal aus einer Klasse $C$ des Kummerschen Körpers $K$, so werde die durch das relativ konjugierte Ideal $S{\mathfrak {C}}$ bestimmte Idealklasse mit $SC$ bezeichnet. Die Klassen $SC$, $S^{2}C$, …, $S^{l-1}C$ sollen die zu $C$ relativ conjugierten Klassen heißen. Ist ferner $F(S)$ eine beliebige ganzzahlige Funktion vom $(l-1)$-ten Grade in $S$, nämlich

$F(S)=a+a_{1}S+a_{2}S^{2}+\cdots +a_{l-1}S^{l-1}$,

wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{l-1}$ ganze rationale Zahlen sind, so werde die durch den Ausdruck

$C^{a}(SC)^{a_{1}}(S^{2}C)^{a_{2}}\cdots (S^{l-1}C)^{a_{l-1}}$

bestimmte Klasse die $F(S)$-te symbolische Potenz der Klasse $C$ genannt und mit

$C^{a+a_{1}S+a_{2}S^{2}+\cdots +a_{l-1}S^{l-1}}=C^{F(S)}$

bezeichnet. Endlich heiße eine Idealklasse $A$ des Kummerschen Körpers $K$ eine ambige Klasse wenn $A=SA$, d. h., wenn ihre $(1-S)$-te symbolische Potenz $A^{1-S}=1$ wird. Die $l$-te Potenz einer beliebigen ambigen Klasse $A$ ist stets eine solche Klasse, welche unter ihren Idealen in $k(\zeta )$ liegende Ideale enthält. Dies ergibt sich unmittelbar, wenn wir berücksichtigen, daß wir

$A^{l}=A^{1+S+S^{2}+\cdots +S^{l-1}}$

als Folge von $A=SA$ haben und daß andererseits die Relativnorm eines beliebigen Ideals in $K$ stets notwendig ein Ideal in $k(\zeta )$ ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 291. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/308&oldid=- (Version vom 29.1.2017)