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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

§ 144. Der Begriff der Klassenschar im regulären Kummerschen Körper.

Es sei in dem regulären Kummerschen Körper $K$ ein solches System von Klassen vorgelegt, daß in der $l$-ten Potenz einer jeden dieser Klassen stets Ideale des Körpers $k(\zeta )$ vorkommen, und überdies sollen insbesondere alle diejenigen Klassen, in welchen Ideale des Körpers $k(\zeta )$ vorkommen, dem Systeme angehören; endlich sollen das Produkt und der Quotient von irgend zwei Klassen des Systems stets wiederum dem Systeme angehören. Ein solches System von Klassen nenne ich eine Klassenschar des Kummerschen Körpers. In einer vorgelegten Klassenschar kann man stets eine gewisse Anzahl $n$ von Klassen $C_{1}$, …, $C_{n}$ bestimmen von der Beschaffenheit, daß man jede Klasse der Klassenschar und jede nur einmal erhält, wenn man in dem Ausdruck

$C_{1}^{u_{1}}C_{2}^{u_{2}}\ldots C_{n}^{u_{n}}c$

einem jeden der Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{n}$ unabhängig von den anderen alle Werte $0$, $1$, …, $l-1$ erteilt, und für $c$ eine jede solche Klasse setzt, welche unter ihren Idealen in $k(\zeta )$ liegende Ideale enthält. Die Klassen $C_{1}$, $C_{2}$, …, $C_{n}$ mögen dann eine Basis der Klassenschar heißen. Es läßt sich leicht zeigen, daß für eine jede andere Basis der Klassenschar die Anzahl $n$ der Klassen, aus welchen die Schar besteht, die gleiche sein muß. Diese Zahl $n$ heiße der Grad der Klassenschar.

Enthalten insbesondere alle Klassen einer Schar Ideale des Körpers $k(\zeta )$, so ist die Schar vom Grade $0$. Des weiteren ist beispielsweise die Gesamtheit aller derjenigen Klassen in $K$, in welchen, sei es ambige Ideale in $K$, sei es Produkte aus ambigen Idealen in $K$ mit Idealen des Körpers $k(\zeta )$ vorkommen, eine Klassenschar. Ferner bildet die Gesamtheit aller ambigen Klassen des Kummerschen Körpers eine Klassenschar.

§ 144. Zwei allgemeine Hilfssätze über die relativen Grundeinheiten eines relativ-zyklischen Körpers von ungeradem Primzahlgrade.

Bevor wir die Untersuchungen des vorigen Paragraphen fortsetzen, leiten wir zwei Hilfssätze ab, die sich an den Satz 91 in § 55 anschließen und wie folgt lauten:

Hilfssatz 31. Es sei der Relativgrad $l$ eines relativ zyklischen Körpers $K$ in bezug auf einen Unterkörper $k$ eine ungerade Primzahl, ferner sei $S$ eine von der identischen verschiedene Substitution der Relativgruppe von $K$ in bezug auf $k$ und $H_{1}$, …, $H_{r+1}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ in bezug auf $k$, dann gilt für eine beliebige Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K$ jedesmal eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}\left[\epsilon \right]$,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 292. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/309&oldid=- (Version vom 29.1.2017)