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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

wo $f$ ein ganzer rationaler, nicht durch $l$ teilbarer Exponent ist, $F_{1}(S)$, …, $F_{r+1}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ bezeichnen und $[\varepsilon ]$ eine Einheit bedeutet, deren $l$-te Potenz in $k$ liegt.

Beweis. Aus dem Beweise des Satzes 91 geht hervor, daß die Einheiten

${\mathsf {H}}_{1},\ldots ,{\mathsf {H}}_{r+1},S{\mathsf {H}}_{1},\ldots ,S{\mathsf {H}}_{r+1},\ldots ,S^{l-2}{\mathsf {H}}_{1},\ldots ,S^{l-2}{\mathsf {H}}_{r+1}$

unter Hinzufügung von $r$ Grundeinheiten des Körpers $k$ voneinander unabhängig sind, und da die Anzahl dieser Einheiten insgesamt $l(r+l)-1$ beträgt, so gibt es, wenn ${\mathsf {E}}$ eine beliebig angenommene Einheit in $K$ bedeutet, für ${\mathsf {E}}$ gewiß Relationen von der Gestalt

${\mathsf {E}}^{G(S)}={\mathsf {H}}_{1}^{G_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$,

(122)

wo $G(S)$, $G_{1}(S)$, …, $G_{r+1}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ sind, unter denen die erste nicht identisch verschwindet, und wo $[\varepsilon ]$ eine solche Einheit in $K$ bedeutet, daß $[\varepsilon ]^{l}$ in $k$ liegt. Aus den unendlich vielen vorhandenen Relationen dieser Art denken wir uns eine solche ausgewählt, bei welcher die ganze Funktion $G(\zeta )$ durch eine möglichst niedrige Potenz von $1-\zeta$ teilbar ist. Wir nehmen an, es treffe dies eben für die Relation (122) zu; wir setzen zunächst voraus, es sei dabei $G(\zeta )$ noch mindestens einmal durch $1-\zeta$ teilbar. Nach der Definition der Grundeinheiten in § 55 müssen dann

$G_{1}(\zeta ),\ldots ,G_{r+1}(\zeta )$

sämtlich ebenfalls durch $1-\zeta$ teilbar sein. Erheben wir die Gleichung (122) in die $(1-S^{2})(1-S^{3})\ldots (1-S^{l-1})$-te symbolische Potenz und setzen

$G(\zeta )=(1-\zeta )G^{*}(\zeta ),$

$G_{1}(\zeta )=(1-\zeta )G_{1}^{*}(\zeta ),\cdots ,G_{r+1}(\zeta )=(1-\zeta )G_{r+1}^{*}(\zeta ),$

so folgt leicht, indem wir berücksichtigen, daß die $(1+S+S^{2}+\ldots +S^{l-1})$-te symbolische Potenz einer Einheit in K stets eine Einheit in $k$ wird,

${\mathsf {E}}^{lG^{*}(S)}={\mathsf {H}}^{lG_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{lG_{r+1}^{*}(S)}[\varepsilon ]$,

(123)

wo $[\varepsilon ]$ wieder eine Einheit in $k$ oder die $l$-te Wurzel aus einer Einheit in $k$ bedeutet. Wegen der Gleichung (123) ist eine $l$-te Wurzel aus dieser Zahl $[\varepsilon ]$ sicherlich eine Zahl in $K$, also, wie leicht ersichtlich, ebenfalls eine solche Einheit in $K$, deren $l$-te Potenz in $k$ liegt, und die wiederum mit $[\varepsilon ]$ zu bezeichnen ist; aus (123) schließen wir daher:

${\mathsf {E}}^{G^{*}(S)}={\mathsf {H}}_{1}^{G_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$,

wo wiederum $[\varepsilon ]$ eine Einheit in $K$ bedeutet, deren $l$-te Potenz in $k$ liegt. Diese Gleichung ist von der nämlichen Gestalt wie (122), nur daß hier $G^{*}(\zeta )$ durch eine niedrigere Potenz von $1-\zeta$ teilbar wäre als oben $G(\zeta )$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 293. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/310&oldid=- (Version vom 30.4.2017)