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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

wo ${\mathsf {E}}$ die durch (129) festgelegte Einheit in $K$ und $\varepsilon '^{*}$ wieder eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet; durch Bildung der Relativnorm erhalten wir $1=\varepsilon '^{*l}$, d. h. $\varepsilon '^{*}$ ist eine $l$-te Einheitswurzel, etwa gleich $\zeta ^{g'}$. Alsdann wird, wenn wir die Gleichungen

${\mathsf {M}}^{1-S}=\zeta ^{-1}$, ${\mathsf {M}}'^{1-S}={\mathsf {E}}\zeta ^{-r}$, ${\mathsf {M}}''^{1-S}={\mathsf {E}}'$

berücksichtigen,

$\{{\mathsf {M}}''^{f'}{\mathsf {M}}'^{u}{\mathsf {M}}^{g'-ur}{\mathsf {H}}'{-1}\}^{1-S}=1$,

d. h. der Ausdruck ${\mathsf {M}}''^{f'}{\mathsf {M}}'^{u}{\mathsf {M}}^{g'-ur}{\mathsf {H}}'^{-1}$ stellt eine Zahl in $k(\zeta )$ dar. Beachten wir, daß ${\mathfrak {L}}_{t}^{l}$, ${\mathfrak {L}}_{t-1}^{l}$, ${\mathfrak {L}}_{t-2}^{l}$, …, ${\mathfrak {L}}_{1}^{l}$ in $k(\zeta )$ Primideale sind, so schließen wir daraus zunächst, daß $g'-ur$ durch $l$ teilbar sein muß; sodann ersehen wir, da ${\mathsf {M}}'$ nach Voraussetzung das Ideal ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu einer Potenz erhoben enthält, deren Exponent nicht durch $l$ teilbar ist, dagegen in der Zahl ${\mathsf {M}}''$ wegen (131) das Ideal ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ sicher zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben vorkommt, daß notwendigerweise auch $u$ durch $l$ teilbar sein muß, und endlich müßten dann, da $f'$ zu $l$ prim ist, die Exponenten $a''_{1}$, …, $a''_{t-2}$ sämtlich durch $l$ teilbar sein, was unserer Voraussetzung über dieselben widerspricht. Damit ist gezeigt, daß zwischen den Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ eine Relation wie (130) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ bilden unter der gegenwärtigen Annahme $m={\frac {l-3}{2}}$ für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich $t-2$, wie es unserem Satz 158 entspricht.

Wenn wir drittens $m={\frac {l-5}{2}}$ annehmen, so besteht zwischen den Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ nicht nur, wie im vorigen Falle, eine Relation von der Gestalt $\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}=\eta ^{l}$, wo $\eta$ eine Einheit in $k(\zeta )$ und einer der Exponenten $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$, etwa wieder $e_{\frac {l-1}{2}}$, nicht durch $l$ teilbar ist, sondern es besteht alsdann noch eine zweite Relation von der Gestalt $\eta _{1}^{e'_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}=\eta '^{l}$, wo $\eta '$ wieder eine Einheit in $k(\zeta )$ ist, und wo einer der Exponenten $e'_{1}$, …, $e'_{\frac {l-3}{2}}$, etwa $e'_{\frac {l-3}{2}}$, nicht durch $l$ teilbar ist. Wir bilden die Einheiten

$\left.{\begin{aligned}{\mathsf {E}}&={\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\eta ^{-1},\\{\mathsf {E}}'&={\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}\eta '^{-1}.\end{aligned}}\right\}$

(134)

Da die Relativnormen der Einheiten ${\mathsf {E}}$ und ${\mathsf {E}}'$ gleich $1$ sind, so können wir

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 299. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/316&oldid=- (Version vom 19.2.2017)