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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

nach Satz 90 (S. 149) ${\mathsf {E}}=\Lambda ^{1-S}$ und ${\mathsf {E}}'=\Lambda '^{1-S}$ setzen, wobei $\Lambda$ und $\Lambda '$ ganze Zahlen in $K$ bedeuten. Bestimmen wir dann zunächst, wie im vorigen Falle, eine ganze rationale positive Zahl $r$ derart, daß ${\mathsf {M}}'=\Lambda {\mathsf {M}}^{r}$ den Faktor ${\mathfrak {L}}_{t}$ zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben enthält, so kommt, wie die dortigen Überlegungen zeigen, in ${\mathsf {M}}'$ mindestens eines der ambigen Primideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent nicht durch $l$ teilbar ist; es treffe dies etwa für ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu. Wir bestimmen dann zwei ganze rationale positive Zahlen $r'$ und $r''$ so, daß die Zahl ${\mathsf {M}}''=\Lambda '{\mathsf {M}}'{^{r'}}{\mathsf {M}}^{r''}$ die beiden Faktoren ${\mathfrak {L}}_{t}$ und ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu Exponenten erhoben enthält, die durch $l$ teilbar sind. Alsdann können in dieser Zahl ${\mathsf {M}}''$ die Faktoren ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t-2}$ nicht sämtlich zu solchen Potenzen erhoben vorkommen, deren Exponenten durch $l$ teilbar sind. Denn wäre dies der Fall, so könnten wir unter Benutzung von Satz 153 ${\mathsf {M}}''=\Theta '\alpha '$ setzen, so daß $\Theta '$ eine Einheit in $K$ und $\alpha '$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist. Berücksichtigen wir dann die Gleichungen ${\mathsf {M}}^{1-S}=\zeta ^{-1}$, $\Lambda ^{1-S}={\mathsf {E}}$, $\Lambda '^{1-S}={\mathsf {E}}'$, so wäre

$\Theta '^{1-S}={\mathsf {E}}'{\mathsf {E}}^{r'}\zeta ^{-(rr'+r'')}$;

wegen (134) würde hieraus folgen:

$\Theta '^{1-S}={\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}+r'e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}+r'e_{\frac {l-3}{2}}}{\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{r'e_{\frac {l-1}{2}}}\varepsilon$,

(135)

wo $\varepsilon$ eine gewisse Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet; diese Relation widerspräche aber der Definition der relativen Grundeinheiten nach § 55; denn da jede der beiden Zahlen $e_{\frac {l-1}{2}}$, $e'_{\frac {l-3}{2}}$ zu $l$ prim ist, so sind die Exponenten von ${\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}$, ${\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}$ in (135) sicher niemals beide zugleich durch $l$ teilbar. Kommt nun in ${\mathsf {M}}''$ etwa ${\mathfrak {L}}_{t-2}$ zu einem nicht durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben vor, so entnehmen wir aus diesem Umstande, daß die Klasse $L_{t-2}$ sich als Produkt von Potenzen der Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-3}$ und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält.

Durch die entsprechenden Überlegungen wie im vorigen Falle $m={\frac {l-3}{2}}$ kann man nun unter der gegenwärtigen Annahme $m={\frac {l-5}{2}}$ beweisen, daß aus den Idealklassen $L_{1}$, …, $L_{t-3}$ keine Klasse

$c'''=L_{1}^{a'''_{1}}\cdots L_{t-3}^{a'''_{t-3}}$

hervorgehen kann, welche Ideale in $k(\zeta )$ enthält, während die Exponenten $a'''_{1}$, …, $a'''_{t-3}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind. Wir ersehen dann, daß bei der gegenwärtigen Annahme $L_{1}$, …, $L_{t-3}$ eine Basis der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar bilden; der Grad dieser Klassenschar beträgt folglich $t-3$, wie es dem Satz 158 entspricht.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 300. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/317&oldid=- (Version vom 5.3.2017)