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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Durch die geeignete Weiterführung des oben geschilderten Verfahrens gelangen wir zum vollständigen Beweise des Satzes 158.

Wir hatten oben den Fall ausgeschlossen, daß der Kummersche Körper $K$ durch eine Zahl ${\sqrt[{l}]{\varepsilon }}$ bestimmt werden kann, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet; wir haben daher diesen Fall jetzt noch besonders zu behandeln. Die Relativdiskriminante des Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\varepsilon }},\zeta )$ kann alsdann nach Satz 148 keine anderen Primfaktoren als ${\mathfrak {l}}$ enthalten; nach Satz 94 und Satz 153 muß sie den Faktor ${\mathfrak {l}}$ wirklich enthalten. Wir haben dann in $K$ eine Zerlegung ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$, und es ist ${\mathfrak {L}}$ das einzige ambige Primideal des Körpers $K$, Es seien wieder $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ bez. die Relativnormen der ${\frac {l-1}{2}}$ relativen Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}$. Da der Grad einer Einheitenschar in $k(\zeta )$ stets $\leqq {\frac {l-1}{2}}$ ist, so besteht sicher eine Relation von der Gestalt:

$\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\varepsilon ^{e_{\frac {l+1}{2}}}=\eta ^{l}$,

(136)

wo $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$, $e_{\frac {l+1}{2}}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind, und wo $\eta$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Setzen wir

${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\left({\sqrt[{l}]{\varepsilon }}\right)^{e_{\frac {l+1}{2}}}\eta ^{-1}$,

(137)

so ist $N_{k}({\mathsf {H}})=1$ und folglich nach Satz 90 ${\mathsf {H}}=\Lambda ^{1-S}$, wo $\Lambda$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ bedeutet; wir können dann $\Lambda ={\mathfrak {L}}^{a}{\mathfrak {j}}$ setzen, wo ${\mathfrak {L}}^{a}$ eine Potenz des ambigen Primideals ${\mathfrak {L}}$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ bedeutet. Der Exponent $a$ ist dann sicher nicht durch $l$ teilbar; denn sonst wäre wegen ${\mathfrak {L}}^{l}={\mathfrak {l}}=1-\zeta$ und mit Rücksicht auf Satz 153 $\Lambda =\Theta \alpha$ in solcher Weise, daß $\Theta$ eine Einheit in $K$ und $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ bezeichnet; hieraus aber würden wir ${\mathsf {H}}=\Theta ^{1-S}$ entnehmen und dadurch mit Rücksicht auf (137) in einen Widerspruch mit der Definition der relativen Grundeinheiten in § 55 geraten. Aus der Gleichung $\Lambda ={\mathfrak {L}}^{a}{\mathfrak {j}}$ schließen wir ${\mathfrak {j}}^{l}\sim 1$, daraus ${\mathfrak {j}}\sim 1$, ${\mathfrak {L}}^{a}\sim 1$ und, da $a$ zu $l$ prim ist, ${\mathfrak {L}}\sim 1$, d. h. das einzige im gegenwärtigen Fall vorhandene ambige Ideal ${\mathfrak {L}}$ ist ein Hauptideal; der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar ist mithin gleich $0$.

Wir nehmen nun an, von den Exponenten $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$ sei etwa $e_{\frac {l-1}{2}}$ prim zu $l$, und beweisen dann, daß keine Relation

$\eta _{1}^{e'_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}\varepsilon ^{e'_{\frac {l+1}{2}}}=\eta '^{l}$

(138)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 301. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/318&oldid=- (Version vom 5.3.2017)