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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

vom Grade $n$ bilden: dann besitzt die aus sämtlichen ambigen Klassen bestehende Klassenschar den Grad $t+n-{\frac {l+1}{2}}$.

Beweis. Es habe $m$ die Bedeutung wie in Satz 158. Fällt erstens $n=m$ aus, so stimmt die jetzt in Frage kommende Einheitenschar mit der in Satz 158 behandelten Einheitenschar überein, d. h. wenn eine Einheit in $k(\zeta )$ gleich der Relativnorm einer gebrochenen Zahl in $K$ ist, so ist sie stets auch gleich der Relativnorm einer Einheit in $K$. Wir beweisen nun, daß in diesem Falle die Klassenschar, die aus den ambigen Idealen entspringt, die Schar sämtlicher ambigen Klassen darstellt. In der Tat, wenn $A$ eine beliebige ambige Klasse in $K$ und ${\mathfrak {A}}$ ein Ideal aus $A$ ist, so können wir ${\mathfrak {A}}^{1-S}={\mathsf {A}}$ setzen in solcher Weise, daß ${\mathsf {A}}$ eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in $K$ bedeutet, und die Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ wird dann offenbar gleich einer Einheit $\vartheta$ des Körpers $k(\zeta )$. Da dann unter der gegenwärtigen Annahme $n=m$ nach dem soeben bemerkten auch eine Einheit ${\mathsf {H}}$ in $K$ gefunden werden kann derart, daß $N_{k}({\mathsf {H}})=\vartheta$ wird, so haben wir $N_{k}({\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {H}})=1$ und folglich nach Satz 90 ${\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {H}}={\mathsf {B}}^{1-S}$ oder ${\mathsf {A}}{\mathsf {B}}^{1-S}={\mathsf {H}}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ ist. Wegen ${\mathsf {A}}={\mathfrak {A}}^{1-S}$ wird $({\mathfrak {A}}{\mathsf {B}})^{1-S}=1$, d. h. es ist ${\mathfrak {A}}{\mathsf {B}}$ gleich dem Produkte aus einem ambigen Ideal und einem Ideal in $k(\zeta )$, und es entsteht also die Klasse $A$ durch Multiplikation einer Klasse, die ein ambiges Ideal enthält, mit einer Klasse, die Ideale in $k(\zeta )$ enthält. Damit ist unsere Behauptung bewiesen und der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar ist nunmehr mit Rücksicht auf Satz 158 gleich

$t+m-{\frac {l+1}{2}}$,

wie es im vorliegenden Falle $n=m$ dem Satz 159 entspricht.

Es sei zweitens $n=m+1$; dann kommt in $k(\zeta )$ eine Einheit $\vartheta$ vor, die zwar nicht die Relativnorm einer Einheit in $K$, aber doch die Relativnorm einer gebrochenen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$ ist, und es muß sich jede andere Einheit $\vartheta '$ von der nämlichen Natur durch die Einheit $\vartheta$ solcher Gestalt $\vartheta '=\vartheta ^{a}\eta$ ausdrücken lassen, daß $a$ ein ganzer rationaler Exponent und $\eta$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ ist. Wir setzen

${\mathsf {A}}={\mathfrak {P}}_{1}^{G_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{G_{r}(S)}$,

wo ${\mathfrak {P}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {P}}_{r}$ voneinander verschiedene Primideale in $K$ bedeuten sollen, von denen keine zwei zueinander relativ konjugiert sind, und wo $G_{1}(S),\dotsc ,G_{r}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-1)$-ten Grade in $S$ sind. Wegen $N_{k}({\mathsf {A}})=\vartheta$ folgt

$\left({\mathfrak {P}}_{1}^{G_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{G_{r}(S)}\right)^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1$,

und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen $G_{1}(S),\dotsc ,G_{r}(S)$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 303. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/320&oldid=- (Version vom 4.6.2018)