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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

sämtlich durch $1-S$ teilbar sein müssen. Setzen wir

$G_{1}(S)=(1-S)G_{1}^{*}(S),\ldots ,G_{r}(S)=(1-S)G_{r}^{*}(S)$

und

${\mathfrak {P}}_{1}^{G_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{G_{r}^{*}(S)}={\mathfrak {A}}\alpha$,

wo ${\mathfrak {A}}$ ein Ideal in $K$ und $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k(\zeta )$ ist, so wird ${\mathsf {A}}={\mathfrak {A}}^{1-S}$. Hieraus folgt zunächst, daß ${\mathfrak {A}}$ eine ambige Klasse bestimmt. Diese ambige Klasse, sie heiße $A$, enthält kein Ideal, welches das Produkt eines ambigen Ideals mit einem Ideal des Körpers $k(\zeta )$ wäre. In der Tat, wäre dies der Fall, so könnten wir ${\mathfrak {A}}=\Gamma {\mathfrak {Lj}}$ setzen so, daß $\Gamma$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $K$, ferner ${\mathfrak {L}}$ ein ambiges Ideal in $K$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ bedeutet; dann aber wäre ${\mathfrak {A}}^{1-S}=\Gamma ^{1-S}$, d. h. ${\mathsf {A}}={\mathsf {H}}\Gamma ^{1-S}$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Einheit in $K$ ist. Hieraus würde $N_{k}({\mathsf {A}})=N_{k}({\mathsf {H}})=\vartheta$ folgen, was der vorausgesetzten Beschaffenheit der Einheit $\vartheta$ widerspricht.

Wir wollen nun für die gegenwärtige Annahme $n=m+1$ den Nachweis führen, daß jede überhaupt vorhandene ambige Klasse $A'$ in der Gestalt $A'=A^{a}Lc$ dargestellt werden kann, wo $A^{a}$ eine Potenz der soeben bestimmten Klasse $A$ bedeutet, wo ferner $L$ eine Klasse mit ambigem Ideal und $c$ eine solche Klasse bedeutet, die unter ihren Idealen Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält. Zu dem Zwecke nehmen wir aus $A'$ ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {A}}'$; dann können wir ${\mathfrak {A}}'^{1-S}={\mathsf {A}}'$ setzen in solcher Weise, daß ${\mathsf {A}}'$ eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in $K$ wird. Es ist sodann $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta '$ eine Einheit in $k(\zeta )$; wir setzen unserer Voraussetzung entsprechend $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta ^{a}\eta$, wo $\vartheta$, $a$, $\eta$ die oben erklärte Bedeutung haben sollen. Es sei ${\mathsf {A}}$ die oben betrachtete Zahl für welche $\vartheta =N_{k}({\mathsf {A}})$ ist; es sei ferner $\eta =N_{k}({\mathsf {H}})$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Einheit in $K$ bedeute. Aus diesen Gleichungen ergibt sich $N_{k}({\mathsf {A}}'^{-1}{\mathsf {A}}^{a}{\mathsf {H}})=1$, und daher wird nach Satz 90 ${\mathsf {A}}'^{-1}{\mathsf {A}}^{a}{\mathsf {H}}=\Gamma ^{1-S}$, wo $\Gamma$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ ist; hieraus entnehmen wir $({\mathfrak {A}}'^{-1}{\mathfrak {A}}^{a}\Gamma ^{-1})^{1-S}=1$. Die letztere Gleichung zeigt, daß ${\mathfrak {A}}'^{-1}{\mathfrak {A}}^{a}\Gamma ^{-1}$ nach Multiplikation mit einer geeigneten ganzen Zahl des Körpers $k(\zeta )$ das Produkt eines ambigen Ideals ${\mathfrak {L}}$ in ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k(\zeta )$ wird; wir haben somit ${\mathfrak {A}}'\sim {\mathfrak {A}}^{a}{\mathfrak {Lj}}$. Es geht daraus in dem vorliegenden Falle $n=m+1$ hervor, daß der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar $t+m+1-{\frac {l+1}{2}}$ beträgt, und dies ist die Aussage des Satzes 159 für diesen Fall.

Nehmen wir drittens $n=m+2$ an, so existiert in $k(\zeta )$ außer der Einheit $\vartheta$ noch eine Einheit $\vartheta '$, welche die Relativnorm einer gebrochenen Zahl ${\mathsf {A}}'$ in $K$ ist, und für die dennoch keine Darstellung von der Gestalt $\vartheta '=\vartheta ^{a}\eta$ möglich ist, wo $\vartheta ^{a}$ eine Potenz der oben eingeführten Einheit $\vartheta$ und $\eta$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ bedeuten soll. Wir setzen

${\mathsf {A}}'={\mathfrak {P'}}_{1}^{G'_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P'}}_{r'}^{G'_{r'}(S)}$,

wo ${\mathfrak {P}}'_{1},\dotsc ,{\mathfrak {P}}'_{r'}$ solche Primideale in $K$ bedeuten sollen, von denen keine

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 304. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/321&oldid=- (Version vom 4.6.2018)