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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Das algebraische Verhältnis zwischen Zerlegungskörper und Trägheitskörper wird durch den folgenden Satz klargelegt:

Ist $\vartheta _{t}$ eine den Trägheitskörper bestimmende Zahl, so genügt $\vartheta _{t}$ einer Gleichung $f$-ten Grades von der Gestalt

$\vartheta _{t}^{f}+\alpha _{z}\vartheta _{t}^{f-1}+\alpha '_{z}\vartheta _{t}^{f-2}+\cdots =0$,

deren Koeffizienten Zahlen des Körpers $\varkappa _{z}$ sind, und welche im Rationalitätsbereiche $\varkappa _{z}$ eine Galoissche Gleichung mit der zyklischen Gruppe $f$-ten Grades ist.

Die Partialnormen des Primideals ${\mathfrak {P}}$ in bezug auf die Körper $\varkappa _{z}$ und $\varkappa _{t}$ sind

$v_{z}({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{r_{z}}$ und $v_{t}({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}^{r_{t}}$.

Um nun die niedrigste in $\varkappa _{z}$ liegende Potenz des Primideals ${\mathfrak {P}}$ zu ermitteln, denken wir uns den größten gemeinsamen Teiler aller derjenigen ganzen Zahlen des Körpers $\varkappa _{z}$ bestimmt, welche durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar sind. Dieser Teiler ist notwendig im Körper $\varkappa _{z}$ ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ und da ${\mathfrak {P}}^{r_{z}}$ in $\varkappa _{z}$ liegt, so ist ${\mathfrak {p}}$ jedenfalls eine Potenz von ${\mathfrak {P}}$; wir setzen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{u}$. Zur Bestimmung des Exponenten $u$ dient die folgende Betrachtung. Soll eine durch ${\mathfrak {P}}$ nicht teilbare Zahl $A$ des Körpers $K$ der Kongruenz $A\equiv zA$ nach ${\mathfrak {P}}$ genügen und ist etwa $A\equiv P^{i}$ nach ${\mathfrak {P}}$, so muß notwendig $i\equiv pi$ nach $p^{f}-1$ und folglich $i$ eine durch $1+p+p^{2}+\ldots +p^{f-1}$ teilbare Zahl sein, d. h. es gibt nur $p-1$ untereinander nach ${\mathfrak {P}}$ inkongruente Zahlen von der gewünschten Beschaffenheit, und es wird daher $A\equiv a$ nach ${\mathfrak {P}}$‚ wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Aus dieser Betrachtung folgt insbesondere, daß jede Zahl $\alpha$ des Körpers $\varkappa _{z}$ einer rationalen Zahl $a$ nach ${\mathfrak {P}}$ und mithin auch nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent ist, d. h. ${\mathfrak {p}}$ ist im Körper $\varkappa _{z}$ ein Primideal ersten Grades und die Norm $n({\mathfrak {p}})$ im Körper $\varkappa _{z}$ ist folglich gleich $p$. Andrerseits ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K$ durch die Formel $N({\mathfrak {p}})=[n({\mathfrak {p}})]^{r_{z}}$ gegeben, und wegen ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{u}$ und $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$ folgt somit $p^{uf}=p^{r_{z}}$ d. h. $u=r_{t}$. Daraus folgt der Satz:

Das Ideal ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{r_{t}}$ liegt im Zerlegungskörper $\varkappa _{z}$ und ist in diesem ein Primideal ersten Grades: es wird also jede ganze Zahl des Körpers $\varkappa _{z}$ einer rationalen Zahl kongruent nach ${\mathfrak {p}}$.

Da notwendig die bezüglich $\varkappa _{z}$ zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten $m_{z}-1$ Ideale zu ${\mathfrak {p}}$ prim sind und mit ${\mathfrak {p}}$ multipliziert das Produkt $p$ ergeben, so ist der Zerlegungskörper zugleich der Körper niedrigsten Grades, in welchem die Zerlegung der rationalen Primzahl $p$ soweit bewirkt wird, daß dabei eine Trennung der Faktoren ${\mathfrak {P}}$ von den übrigen stattfindet.

Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, bezeichnen wir mit $A$ eine durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare Zahl des Körpers $K$ und bilden für alle Substitutionen $t$, $t'$, $t''$, …, der Trägheitsgruppe die Kongruenzen

$\left.{\begin{alignedat}{3}&t&&A\equiv P^{a}&A,\\&t'&&A\equiv P^{a'}&A,\\&t''&&A\equiv P^{a''}&A,\\&&&\quad \vdots \end{alignedat}}\right\}\qquad ({\mathfrak {P}}^{2})$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 16. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/33&oldid=- (Version vom 31.7.2018)