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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

wo $a$, $a'$, $a''$, … Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $p^{f}-2$ bedeuten. Diejenigen unter den Substitutionen $t$, $t'$, $t''$, …, für welche die betreffenden Exponenten $a$, $a'$, $a''$, … den Wert $0$ haben, mögen mit $v$, $v'$, $v''$ … bezeichnet werden; ihre Zahl sei $r_{v}$; sie bilden, wie leicht ersichtlich, eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe. Diese Untergruppe $r_{v}$-ten Grades werde die Verzweigungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{v}$ bezeichnet. Der zu $g_{v}$ gehörige Körper heiße der Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$.

Es sei ${\mathfrak {P}}^{u}$ eine so hohe Potenz von ${\mathfrak {P}}$, daß für jede von $1$ verschiedene Substitution $v$ der Verzweigungsgruppe die Inkongruenz $vA\equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,A$ nach ${\mathfrak {P}}^{u}$ gilt. Setzen wir nun $vA\equiv A+BA^{2}$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$, wo $B$ eine ganze Zahl in $K$ bedeutet, so folgt leicht $v^{p}A\equiv A$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$ und hieraus in gleicher Weise $v^{p^{2}}A\equiv A$ nach ${\mathfrak {P}}^{4}$ und endlich $v^{p^{u-2}}A\equiv A$ nach ${\mathfrak {P}}^{u}$. Demnach ist $v^{p^{u-2}}=1$, d. h. der Grad $r_{v}$ der Verzweigungsgruppe ist gleich einer Potenz von $p$; wir setzen $r_{v}=p^{l}$.

Es sei nun $a$ der kleinste von $0$ verschiedene unter den Exponenten $a$, $a'$, $a''$ … und es gebe im ganzen $h$ voneinander verschiedene solcher Exponenten. Dann sind diese Exponenten notwendig Vielfache von $a$ und stimmen mit den Zahlen $0$, $a$, $2a$, …, $(h-1)a$ überein; es ist ferner $ha=p^{f}-1$. Zugleich erkennen wir, daß alle Substitutionen der Trägheitsgruppe in die Gestalt $t^{i}v$ gebracht werden können, wo $i$ die Werte $0$, $1$, …, $h-1$ annimmt und $v$ alle Substitutionen der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ durchläuft. Es ist folglich $r_{t}=hr_{v}$. Wir fassen wiederum die erhaltenen Sätze zusammen:

Die Verzweigungsgruppe $g_{v}$ ist eine invariante Untergruppe der Trägheitsgruppe, der Grad $r_{v}$ derselben ist eine Potenz von $p$. Der Grad der Trägheitsgruppe ist gleich dem $h$-fachen Grade der Verzweigungsgruppe, wo $h$ einen Teiler von $p^{f}-1$ bedeutet und daher nicht den Faktor $p$ enthält. Man erhält die Substitutionen der Trägheitsgruppe, indem man die Substitutionen der Verzweigungsgruppe mit $1$, $t$, $t^{2}$, …, $t^{h-1}$ multipliziert, wo $t$ eine geeignet gewählte Substitution der Trägheitsgruppe ist. $t^{h}$ ist eine Substitution der Verzweigungsgruppe.

Das algebraische Verhältnis zwischen Trägheitskörper und Verzweigungskörper wird durch den folgenden Satz klargelegt:

Ist $\vartheta _{v}$ eine den Verzweigungskörper bestimmende Zahl, so genügt $\vartheta _{v}$ einer Gleichung $h$-ten Grades von der Gestalt

$\vartheta _{v}^{h}+\alpha _{t}\vartheta _{v}^{h-1}+\alpha '_{t}\vartheta _{v}^{h-2}+\cdots =0$,

deren Koeffizienten Zahlen des Körpers $\varkappa _{t}$ sind und welche im Rationalitätsbereiche $\varkappa _{t}$ eine Galoissche Gleichung mit der zyklischen Gruppe $h$-ten Grades ist.

Um nun vor allem Aufschluß über das Verhalten des Ideals ${\mathfrak {p}}$ im Körper $\varkappa _{t}$ zu gewinnen, setzen wir

${\begin{aligned}\pi &=\{vP\cdot v'P\cdot v''P\ldots \}^{p^{l^{(f-1)}}}\\\varrho &={\frac {1}{h}}(\pi +t\pi +t^{2}\pi +\cdots +t^{h-1}\pi ).\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 17. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/34&oldid=- (Version vom 31.7.2018)