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mit Rücksicht auf Satz 151 sicher nicht die Relativnorm einer Einheit des Körpers ist, so haben wir notwendigerweise , und es ist sodann jede Einheit in in der Gestalt darstellbar, wo ein ganzer rationaler Exponent und eine solche Einheit bedeutet, die sich als Relativnorm einer Einheit in erweist. Aus dem letzteren Grunde ist wegen Satz 151

und also auch ; hieraus folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) auch , und damit ist der Beweis für den Hilfssatz 38 erbracht.

Soll Satz 151 für nur in dem Falle eines Körpers , für den nach ist, angewandt werden, so bestimme man eine -te Einheitswurzel derart, daß nach wird, und dann betrachte man, indem man im übrigen wie in dem oben dargelegten Beweise verfährt, an Stelle des Körpers den Körper . Wenn man schließlich noch den Hilfssatz 36 zuzieht, folgt dann der Hilfssatz 38 vollständig.

Hilfssatz 39. Wenn , zwei Primideale erster Art in und , Primärzahlen bez. von , sind, wenn ferner für jede beliebige Einheit in

wird, so ist

.

Beweis. Da ein Primideal erster Art ist, so können wir eine Einheit in derart bestimmen, daß wird. Wir betrachten nun den Kummerschen Körper . Da die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primfaktoren und enthält, so besteht das Charakterensystem einer Zahl in für diesen Körper aus den zwei Charakteren und . Wegen ist in weiter zerlegbar; es sei ein Primfaktor von in diesem Körper. Um das Charakterensystem von zu bilden, bedenken wir, daß ein Primideal erster Art ist; es läßt sich dann eine Einheit in bestimmen, für welche wird und es besteht das Charakterensystem von aus dem einen Charakter . Wir entnehmen mithin aus dem Hilfssatz 35 für den Körper

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 317. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/334&oldid=- (Version vom 17.1.2018)