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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

$\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ mit Rücksicht auf Satz 151 sicher nicht die Relativnorm einer Einheit des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ ist, so haben wir notwendigerweise $m={\frac {l-3}{2}}$, und es ist sodann jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ in der Gestalt $\xi =\varepsilon ^{a}\vartheta$ darstellbar, wo $a$ ein ganzer rationaler Exponent und $\vartheta$ eine solche Einheit bedeutet, die sich als Relativnorm einer Einheit in $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ erweist. Aus dem letzteren Grunde ist wegen Satz 151

$\left\{{\frac {\vartheta ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,\quad \left\{{\frac {\vartheta ,\pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\vartheta }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$

und also auch $\left\{{\frac {\pi ,\vartheta }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\vartheta }{\mathfrak {p}}}\right\}$; hieraus folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) auch $\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}$, und damit ist der Beweis für den Hilfssatz 38 erbracht.

Soll Satz 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nur in dem Falle eines Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, für den $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, angewandt werden, so bestimme man eine $l$-te Einheitswurzel $\zeta ^{*}$ derart, daß $\zeta ^{*}\pi ^{l-1}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird, und dann betrachte man, indem man im übrigen wie in dem oben dargelegten Beweise verfährt, an Stelle des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta )$ den Körper $k({\sqrt[{l}]{\zeta ^{*}\pi ^{l-1}}},\zeta )$. Wenn man schließlich noch den Hilfssatz 36 zuzieht, folgt dann der Hilfssatz 38 vollständig.

Hilfssatz 39. Wenn ${\mathfrak {p}}$, $p^{*}$ zwei Primideale erster Art in $k(\zeta )$ und $\pi$, $\pi ^{*}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}$, $p^{*}$ sind, wenn ferner für jede beliebige Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\},\quad \left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ^{*},\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$

wird, so ist

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}$.

Beweis. Da ${\mathfrak {p}}^{*}$ ein Primideal erster Art ist, so können wir eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ derart bestimmen, daß $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ wird. Wir betrachten nun den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \pi }},\zeta )$. Da die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primfaktoren ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {p}}$ enthält, so besteht das Charakterensystem einer Zahl $\alpha (\neq 0)$ in $k(\zeta )$ für diesen Körper aus den zwei Charakteren $\left\{{\frac {\alpha ,\varepsilon \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}$ und $\left\{{\frac {\alpha ,\varepsilon \pi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}$. Wegen $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {p}}^{*}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varepsilon \pi }},\zeta )$ weiter zerlegbar; es sei ${\mathfrak {P}}^{*}$ ein Primfaktor von ${\mathfrak {p}}^{*}$ in diesem Körper. Um das Charakterensystem von ${\mathfrak {P}}^{*}$ zu bilden, bedenken wir, daß ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist; es läßt sich dann eine Einheit $\varepsilon ^{*}$ in $k(\zeta )$ bestimmen, für welche $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}\pi ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird und es besteht das Charakterensystem von ${\mathfrak {P}}^{*}$ aus dem einen Charakter $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}\pi ^{*},\varepsilon \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}$. Wir entnehmen mithin aus dem Hilfssatz 35 $g\leqq 1$ für den Körper

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 317. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/334&oldid=- (Version vom 17.1.2018)