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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

Hilfssatz 40. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art in $k(\zeta )$ ist und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, und wenn für jede beliebige Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$

besteht, wenn ferner ${\mathfrak {p}}^{*}$ ein solches von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes Primideal erster Art ist, daß

$\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$

ausfällt, so gibt es stets eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ von der Art, daß

$\left\{{\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ^{*},\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$

wird, wobei $\pi ^{*}$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}^{*}$ bezeichnet.

Beweis. Wir verfahren zuvörderst genau wie beim Beweise des vorigen Hilfssatzes und gelangen so unter Einführung gewisser Einheiten $\varepsilon$ und $\varepsilon ^{*}$ wieder zu den drei Formeln (142), (143), (144). Nun ist wegen der Voraussetzung des Hilfssatzes 40 $\left\{{\frac {\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}$; hieraus und wegen $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=\left\{{\frac {{\mathfrak {p}}^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ folgt in Verbindung mit den drei genannten Formeln die Richtigkeit des Hilfssatzes 40.

Soll Satz 151 nur für den Fall $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ zur Anwendung gelangen, so hat man im vorstehenden Beweise nur nötig, die Einheit $\varepsilon$ so zu bestimmen, daß außer der Gleichung $\left\{{\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {p}}^{*}}}\right\}=1$ noch die Kongruenz $(\varepsilon \pi )^{a}\equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ bei einem zu $l$ primen Exponenten $a$ erfüllt wird; es ist eine solche Bestimmung von $e$ hier stets möglich.

§ 157. Ein besonderer Fall des Reziprozitätsgesetzes für zwei Primideale.

Satz 162. Wenn ${\mathfrak {p}}$ und $q$ irgend zwei beliebige Primideale eines regulären Kreiskörpers sind, für welche $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ gilt, so ist stets auch $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$.

Beweis. Es seien $\pi ,\varkappa$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$. Wir betrachten den Kummerschen Körper $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ und unterscheiden zwei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster oder zweiter Art ist.

Im ersten Falle enthält die Relativdiskriminante von $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ die zwei Primideale ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {p}}$, und es gibt nach Hilfssatz 37 eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$, für welche der Charakter $\left\{{\frac {\varepsilon ,\pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ ausfällt. Das Charakterensystem eines Ideals in $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ besteht daher nur aus einem Charakter, d. h. es ist $r=1$ und nach Hilfssatz 35 auch $g=1$. Wegen $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {q}}$ in $k\left({\sqrt[{l}]{\pi }},\zeta \right)$ weiter zerlegbar;

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 319. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/336&oldid=- (Version vom 17.1.2018)