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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.33

Beweis. Es mögen $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$, … für ${\mathfrak {p}}$ die Bedeutung wie im vorigen Hilfssatz 41 haben; wir nehmen in Satz 152 (S. 276)

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\varepsilon \pi ,&\alpha _{2}&=\pi ,&\alpha _{3}&=\pi ',&\alpha _{4}&=\pi '',&\alpha _{5}&=\pi ''',\ldots ,\\\gamma _{1}&=1,&\gamma _{2}&=\zeta ,&\gamma _{3}&=1,&\gamma _{4}&=1,&\gamma _{5}&=1,\ldots ;\end{aligned}}$

die Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, $\alpha _{4}$, $\alpha _{5}$, . . . genügen wiederum, wie man leicht einsieht, der Voraussetzung des Satzes 152; es führt die entsprechende Schlußweise wie in Hilfssatz 41 zu einem Primideal ${\mathfrak {r}}$ von der hier verlangten Beschaffenheit.

§ 159. Beweis des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.

Um den ersten Ergänzungssatz für ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ der ersten Art zu beweisen, wenden wir den Hilfssatz 41 an; diesem zufolge läßt sich ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ bestimmen, für welches

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ und $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$

wird, und das also gewiß ein Primideal erster Art ist. Nach Gleichung (145) haben wir für das Primideal ${\mathfrak {r}}$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{\frac {n({\mathfrak {r}})-1}{l}}=\left\{{\frac {\varrho ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}$,

wo $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeuten soll. Da $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ ausfällt, so besteht nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung

$\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$

und demnach treffen die sämtlichen Bedingungen des Hilfssatzes 40 (S. 319) zu, wenn wir an Stelle der dort mit ${\mathfrak {p}}$ bez. ${\mathfrak {p}}^{*}$ bezeichneten Primideale die beiden Primideale ${\mathfrak {r}}$ bez. ${\mathfrak {p}}$ nehmen. Nach jenem Hilfssatze gibt es somit eine Einheit $\varepsilon$ in $k(\zeta )$ derart, daß $\left\{{\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\varepsilon }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ wird, wobei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ bedeuten soll. Infolge dieser Tatsache ist nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ die Gleichung $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$ erfüllt, wie es der erste Ergänzungssatz behauptet.

Des weiteren bedeute ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art in $k(\zeta )$. Dann ist nach der Definition eines solchen Primideals für jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ stets $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und wenn $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$ bezeichnet, so ist nach Hilfssatz 37 (S. 314) stets auch $\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$. Es gilt daher in der Tat wiederum der erste Ergänzungssatz $\left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 323. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/340&oldid=- (Version vom 9.9.2019)