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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

ist. Bedeuten dann $b$ und $e$ zwei ganze rationale Zahlen von der Art, daß $bh+el=1$ ist, so folgt

$\nu =N_{k}({\mathsf {A}}^{b}{\mathsf {H}}^{-b}\nu ^{e}),$

und hiermit ist der Beweis für den Satz 167 vollständig erbracht.

In diesem Beweise können wir die Anwendung des Satzes 151 beidemal auf den Fall ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ beschränken, da dann nach Satz 163 (S. 328) die behaupteten Tatsachen auch für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ folgen.

Damit ist es dann gelungen, alle diejenigen Eigenschaften auf den regulären Kummerschen Körper zu übertragen, welche für den quadratischen Körper bereits von Gauss aufgestellt und bewiesen worden sind.

35. Neue Begründung der Theorie des regulären Kummerschen Körpers.

§ 166. Die wesentlichen Eigenschaften der Einheiten des regulären Kreiskörpers.

Wir haben gesehen, eine wie wichtige Rolle das besondere Symbol $\textstyle \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ in der Theorie des Kummerschen Körpers spielt. Was die Definition dieses Symbols in § 131 (S. 266) und die Ableitung seiner Eigenschaften in § 131 bis § 133 betrifft, so knüpften wir in der dortigen Darstellung an die von Kummer eingeführten logarithmischen Differentialquotienten der zu einer Zahl $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ gehörenden Funktion $\omega (x)$ an. Die in § 131 bis § 133 für das Symbol $\textstyle \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ im Kummerschen Körper ausgeführten Rechnungen entsprechen übrigens genau denjenigen Betrachtungen, welche in § 64 für das Symbol $\left({\frac {n,\ m}{2}}\right)$ im quadratischen Körper angestellt worden sind. Obwohl es nun bereits gelang, die von Kummer ersonnenen rechnerischen Hilfsmittel auf ein geringes Maß zu bringen, so erscheint es mir doch noch, vor allem auch im Hinblick auf eine künftige Erweiterung der Theorie, notwendig zu untersuchen, ob nicht eine Begründung der Theorie des Kummerschen Körpers ganz ohne jene Rechnungen möglich ist. Ich gebe in diesem Kapitel den Weg hierzu kurz an.

Zunächst können leicht ohne Rechnung und ohne Heranziehung der Bernoullischen Zahlen die späterhin wesentlichen Eigenschaften der Einheiten des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ abgeleitet werden. Für Satz 156 erinnern wir uns des zweiten auf S. 287 mitgeteilten Beweises.

Wir können dann aus diesem Satz 156 den Satz 155 (S. 286) wie folgt ableiten. Wir wollen unter $\varepsilon _{1},\ \ldots ,\ \varepsilon _{l^{\ast }}$ irgendein System von $l^{\ast }$ reellen Grundeinheiten des Körpers $k(\zeta )$ verstehen; wir bestimmen dann positive Exponenten $e_{1},\ \ldots ,\ e_{l^{\ast }}$ und gewisse ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen $a_{1},\ \ldots ,\ a_{l^{\ast }},$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 335. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/352&oldid=- (Version vom 31.7.2018)