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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.34

$k(\zeta )$ ins Auge. Wir setzen $\lambda =1-\zeta$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$. Kommt das Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k(\zeta )$ in $\nu$ zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent $b$ nicht durch $l$ teilbar ist, und geht außerdem ${\mathfrak {l}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ nicht auf, so haben wir auf Grund der Angaben am Schlusse von § 133 auf S. 274

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\lambda ^{b},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}^{-b}$,

und mit Rücksicht auf die hieraus zu entnehmende Gleichung

$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$

ist ${\mathfrak {l}}$ nach Satz 149 (S. 254) in $K$ als Produkt von $l$ Primfaktoren darstellbar. Bedeutet ${\mathfrak {L}}$ einen derselben, so haben wir ${\mathfrak {l}}=N_{k}({\mathfrak {L}})$.

Es sei ferner ${\mathfrak {p}}$ ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$, und es komme ${\mathfrak {p}}$ in $\nu$ zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent $b$ nicht durch $l$ teilbar ist; dagegen sei der Exponent $a$, zu dem ${\mathfrak {p}}$ in $\mu$ aufgeht, durch $l$ teilbar: dann ist nach der Definition des Symbols

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}$,

und hieraus folgt wegen der Voraussetzung des Satzes 167 $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$; nach Satz 149 (S. 254) ist also ${\mathfrak {p}}$ in $K$ als Produkt von $l$ Primidealen darstellbar. Ist ${\mathfrak {P}}$ eines dieser $l$ Primideale, so wird ${\mathfrak {p}}=N_{k}({\mathfrak {P}})$.

Endlich sind die in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$ stets $l$-te Potenzen von Primidealen in $K$ und daher ebenfalls Relativnormen von Idealen in $K$. Aus allen diesen Umständen zusammengenommen folgt, daß $\nu$ die Relativnorm eines Ideals ${\mathfrak {H}}$ in $K$ sein muß, d. h. es ist $\nu =N_{k}({\mathfrak {H}})$.

Wegen der Voraussetzung des Satzes 167 gehört ferner ${\mathfrak {H}}$ dem Hauptgeschlecht in $K$ an, und wir können daher nach Satz 166 (S. 332)

${\mathfrak {H}}\sim {\mathfrak {jJ}}^{1-S}$

setzen, in solcher Weise, daß ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ und ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K$ bedeutet. Ist $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$, so haben wir ${\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$, und folglich muß ${\mathsf {A}}=\left({\frac {\mathfrak {H}}{{\mathfrak {J}}^{1-S}}}\right)^{h}$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ sein; die Relativnorm dieser Zahl $N_{k}({\mathsf {A}})$ ist offenbar $=\varepsilon \nu ^{h}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt nach Satz 151 (S. 272), daß für jedes beliebige Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ notwendig $\left\{{\frac {\varepsilon \nu ^{h},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ und daher auch $\left\{{\frac {\varepsilon ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ sein muß. Es ist nun im ersten Teile des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen $\varepsilon$ stets gleich der Relativnorm einer Zahl in $K$ sein muß, wir setzen $\varepsilon =N_{k}({\mathsf {H}})$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Zahl in $K$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 334. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/351&oldid=- (Version vom 9.9.2019)