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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

Beweis. Es seien $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die in § 166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Grundeinheiten des Körpers $k(\zeta )$; es seien ferner ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale in $k(\zeta )$ von der Beschaffenheit, daß

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}&=\zeta ^{*},&\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,\\\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=\zeta _{1},&\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=1,\\&\;\vdots &\\\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=\zeta _{l^{*}}\\\end{aligned}}\right\}$

(163)

ausfällt, wo $\zeta ^{*}$, $\zeta _{1}$, …, $\zeta _{l^{*}}$ irgendwelche von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzeln bedeuten. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 152 (S. 276); wenn wir auf den Beweis dieses Satzes zurückgreifen, sehen wir, daß nicht bloß die Anzahl, sondern die Summe der reziproken Normen aller Primideale ${\mathfrak {r}}$ von der dort angegebenen Beschaffenheit unendlich war, und wegen dieses Umstandes dürfen wir, wie aus den Betrachtungen beim Beweise des Satzes 83 (S. 143) ersichtlich ist, gegenwärtig annehmen, daß die Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ obenein sämtlich vom ersten Grade sind. Ferner können wir voraussetzen, daß die durch ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ teilbaren rationalen Primzahlen sämtlich voneinander verschieden ausfallen. Es seien $\pi$, $\pi _{1}$, …, $\pi _{l^{*}}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$.

Wir behandeln nun die Annahme, es gäbe $l^{*}+1$ ganze, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$, für welche der Ausdruck $\alpha =\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent wird. Nach Satz 148 (S. 251) besitzt dann die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$ eine gewisse Anzahl $t$ der Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$, aber nicht das Primideal ${\mathfrak {l}}$ als Faktor. Andererseits folgt aus (163) unter Berücksichtigung des Satzes 151 (S. 272), daß der Grad $m$ der Schar derjenigen Einheiten in $k(\zeta )$, welche Relativnormen von Einheiten in $k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$ sind, höchstens den Wert ${\frac {l-1}{2}}-t$ hat; somit würde für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$

$m\leqq {\frac {l-1}{2}}-t$, d. h. $t+m-{\frac {l+1}{2}}<0$

ausfallen, was nach Satz 158 (S. 295) nicht sein kann. Damit ist die oben versuchte Annahme als unmöglich erkannt, d. h. für Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$, die nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, ist der Ausdruck $\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$ niemals der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent.

Es sei $\varkappa$ eine Primärzahl des Primideals ${\mathfrak {q}}$. Aus dem Beweise des Satzes 157 (S. 288) entnehmen wir, daß es genau ${\frac {(l-1)\cdots l^{l-3}}{l^{l^{*}}}}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$ und also $(l-1)l^{l^{*}+1}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 338. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/355&oldid=- (Version vom 9.9.2019)