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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ inkongruente primäre Zahlen in $k(\zeta )$ gibt; andererseits ist die $l$-te Potenz einer zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zahl in $k(\zeta )$ stets der $l$-ten Potenz einer der $l-1$ Zahlen $1$, $2$, …, $l-1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent. Aus der vorhin gefundenen Tatsache folgt daher, daß es stets möglich sein muß, die Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ derart zu bestimmen, daß der Ausdruck $\mu =\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}\varkappa$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent wird; wir setzen, wenn $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ solcher Art bestimmt sind, $\alpha =\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$, so daß $\mu =\alpha \varkappa$ wird, und behandeln nun die Annahme, daß eine gewisse positive Anzahl $a$ von diesen Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ zu $l$ prim, die übrigen ${\frac {l-1}{2}}-a$ aber durch $l$ teilbar seien. Es wäre dann wegen (163) für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, indem wir für ihn die Bezeichnungen des § 149 benutzen, $t=a+1$, $r^{*}=a$, $r=t-r^{*}=1$, und folglich sind nach Hilfssatz 35 (S. 312) in diesem Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ alle Idealklassen vom Hauptgeschlecht. Hieraus ergibt sich unmittelbar folgende Tatsache: wenn ${\mathfrak {r}}$ irgendein Primideal in $k(\zeta )$ mit der Eigenschaft $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ ist und $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeutet, so muß bei geeigneter Wahl der Einheit $\xi$ das Charakterensystem der Zahl $\xi \varrho$ im Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ aus lauter Einheiten $1$ bestehen; es ist also insbesondere

$\left\{{\frac {\xi \varrho ,\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi \varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$,

und da ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist auch $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$.

Wir bezeichnen jetzt die zu ${\mathfrak {q}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {q}}$ verschiedenen Primideale mit ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, … und diejenigen Substitutionen aus der Gruppe von $k(\zeta )$, welche ${\mathfrak {q}}$ in ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, … überführen, bez. mit $s'$, $s''$, …. Haben dann $h$, $h^{*}$ die Bedeutung wie in § 149, und ist $q$ die durch ${\mathfrak {q}}$ teilbare ganze rationale Primzahl, so ergibt sich (ähnlich wie in § 158) mit Rücksicht auf die Bemerkung hinter dem Satze 157 (S. 288)

$\varkappa (s'\varkappa )(s''\varkappa )\cdots =\varepsilon ^{l}q^{hh^{*}}$,

wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Wegen unserer Annahme über die Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$, und da die Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ vom ersten Grade und ferner die durch sie teilbaren rationalen Primzahlen unter sich verschieden sind, können wir aus dem Satz 152 (S. 276) schließen, daß es in $k(\zeta )$ ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ gibt mit den Eigenschaften

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*-1},&\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*},\\\left\{{\frac {s'\alpha }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {s'\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,\\\left\{{\frac {s''\alpha }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {s''\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,\\&\;\vdots &&\;\vdots \end{aligned}}\right\}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 339. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/356&oldid=- (Version vom 9.9.2019)