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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

${\mathfrak {R}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$. Die beiden Charaktere von ${\mathfrak {R}}$ in diesem Körper sind

$\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\},$ $\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}^{-1},$

und hieraus ergeben sich die Charaktere von ${\mathfrak {R}}^{2}$, ${\mathfrak {R}}^{3}$, …, ${\mathfrak {R}}^{l}$. Wegen (171) bestimmen die $l$ Ideale ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}^{2}$,…, ${\mathfrak {R}}^{l}$ $l$ verschiedene Geschlechter, und wegen der nämlichen Formel (171) ist zugleich für dieselben stets das Produkt ihrer beiden Charaktere gleich $1$. Die letztere Tatsache gilt folglich für jedes beliebige Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$. Da $\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=1$ ist, so wird ${\bar {\mathfrak {q}}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ weiter zerlegbar; die Charaktere eines Primfaktors von ${\bar {\mathfrak {q}}}$ sind

$\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }},\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {q}}}\right\}$, $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }},\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {r}}}\right\}^{e}$,

und es ist daher das Produkt $\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {q}}}\right\}\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {r}}}\right\}^{e}=1$. Da andererseits

$\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}^{e}=1$

sein soll, so folgt unter Heranziehung von (172) $\left\{{\frac {\bar {\mathfrak {q}}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}$.

Hilfssatz 46. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal der ersten Art und ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal der zweiten Art in $k(\zeta )$; wenn dann $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ausfällt, so wird auch $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$.

Beweis. Es seien $\pi$, $\varkappa$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$. Wir nehmen an, es wäre $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein von ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches

$\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$, $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$,

(173)

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, …, $\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$

(174)

ausfällt, wo $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die in § 166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten Einheiten sind. Wegen (174) ist ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal zweiter Art. Bedeutet $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$, so fällt $\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ aus; denn aus $\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ würde nach Hilfssatz 44 (S. 340) $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ folgen, was der ersten Gleichung in (173) widerspräche. Wir können daher eine Potenz $\varrho ^{e}$ von $\varrho$ bestimmen derart, daß $\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird.

Da ${\mathfrak {r}}$, ${\mathfrak {q}}$ Primideale zweiter Art sind, so folgt mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) nach Satz 148 (S. 251), daß die Relativdiskriminante des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ nur die beiden Primideale ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {r}}$ als Faktoren enthält. Nun ist nach (173) $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ und nach Hilfssatz 45 (S. 340)

$\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}$,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 342. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/359&oldid=- (Version vom 9.9.2019)