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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

und daraus folgt, wie im Beweise des Hilfssatzes 45, daß für jedes Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ das Produkt der beiden Charaktere gleich $1$ sein muß. Wegen $\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird ${\mathfrak {p}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ weiter zerlegbar; ein jeder Primfaktor von ${\mathfrak {p}}$ besitzt als seine beiden Charaktere

$\left\{{\frac {\pi ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\pi ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}^{e}$.

Da der erste Charakter nach Voraussetzung gleich $1$ ist, so würde nach dem eben Bewiesenen auch $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ folgen, was nach (173) nicht zutrifft. Dadurch ist unsere Annahme $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ widerlegt.

Hilfssatz 47. Wenn ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist, so folgt stets $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$.

Beweis. Wir verfahren genau wie im Beweise des Hilfssatzes 45, indem wir statt des Primideals ${\overline {\mathfrak {q}}}$ nunmehr das Primideal ${\mathfrak {p}}$ einsetzen und demgemäß im Verlauf des Beweises behufs Ableitung der (172) entsprechenden Beziehung statt des Hilfssatzes 44 den Hilfssatz 46 heranziehen.

§ 169. Ein Hilfssatz über das Produkt $\prod '\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ worin ${\mathfrak {w}}$ alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale durchläuft.

Wir sind nunmehr imstande, den folgenden Hilfssatz abzuleiten:

Hilfssatz 48. Wenn $\nu$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen sind und überdies $\mu$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent wird, so ist stets

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,

wo das Produkt über alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ erstreckt werden soll.

Beweis. Unter der über $\mu$ gemachten Voraussetzung können wir offenbar $\mu$ gleich einem Produkt aus lauter Primärzahlen von Primidealen, dividiert durch die $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$, setzen. Ist $\nu$ insbesondere gleich einer Primärzahl $\varkappa$ eines Primideals ${\mathfrak {q}}$ zweiter Art, so folgt alsdann die Richtigkeit der Behauptung sofort aus den Hilfssätzen 45 und 47, d. h. es ist unter der über $\mu$ gemachten Voraussetzung stets

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\varkappa ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1.$

(175)

Nunmehr betrachten wir den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$. Wenn $r$ die Anzahl der Charaktere bezeichnet, die das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper bestimmen, so gibt es nach Hilfssatz 35 (S. 312) höchstens $l^{r-1}$ Geschlechter in diesem Körper. Sind nun $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ irgend $r$ solche $l$-te

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 343. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/360&oldid=- (Version vom 9.9.2019)