Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/36

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Ist $\vartheta _{\overline {v}}$ eine den einmal überstrichenen Verzweigungskörper $\varkappa _{\overline {v}}$ bestimmende Zahl, so genügt $\vartheta _{\overline {v}}$ einer Abelschen Gleichung $p^{\overline {e}}$-ten Grades von der Gestalt

$\vartheta _{\overline {v}}^{p^{\overline {e}}}+\alpha _{v}\vartheta _{\overline {v}}^{p^{\overline {e}}-1}+\alpha '_{v}\vartheta _{\overline {v}}^{p^{\overline {e}}-2}+\cdots =0$,

deren Koeffizienten Zahlen des Körpers $\varkappa _{v}$ sind und deren Gruppe lediglich Substitutionen $p$-ten Grades enthält. Es wird ${\mathfrak {p}}_{v}={\mathfrak {p}}_{\overline {v}}^{p^{\overline {e}}}$, wo ${\mathfrak {p}}_{\overline {v}}$ Primideal des Körpers $\varkappa _{\overline {v}}$ ist. Der Exponent ${\overline {e}}$ überschreitet keinenfalls die Zahl $f$.

Nunmehr ist ersichtlich, in welcher Weise das eingeschlagene Verfahren fortzusetzen ist. Bedeutet ${\overline {L}}$ den höchsten Exponenten von der Art, daß für jede Substitution ${\overline {v}}$ die sämtlichen Zahlen des Körpers $K$ der Kongruenz

${\overline {v}}\Omega \equiv \Omega ,\qquad \left({\mathfrak {P}}^{\overline {L}}\right)$

genügen, so bestimmen wir alle diejenigen Substitutionen ${\overline {\overline {v}}}$, für Welche

${\overline {\overline {v}}}\Omega \equiv \Omega ,\qquad \left({\mathfrak {P}}^{{\overline {L}}+1}\right)$

wird. Dieselben bilden eine invariante Untergruppe $g_{\overline {\overline {v}}}$ der Gruppe $g_{\overline {v}}$, die zweimal überstrichene Verzweigungsgruppe; ihr Grad sei $r_{\overline {\overline {v}}}=p^{\overline {\overline {l}}}$; wir setzen ${\overline {l}}-{\overline {\overline {l}}}={\overline {\overline {e}}}$. Es gelten die Sätze:

Ist $\vartheta _{\overline {\overline {v}}}$ eine den zweimal überstrichenen Verzweigungskörper $\varkappa _{\overline {\overline {v}}}$ bestimmende Zahl, so genügt $\vartheta _{\overline {\overline {v}}}$ einer Abelschen Gleichung $p^{\overline {\overline {e}}}$-ten Grades von der Gestalt

$\vartheta _{\overline {\overline {v}}}^{p^{\overline {\overline {e}}}}+\alpha _{\overline {v}}\vartheta _{\overline {\overline {v}}}^{p^{\overline {\overline {e}}}-1}+\alpha '_{\overline {v}}\vartheta _{\overline {\overline {v}}}^{p^{\overline {\overline {e}}}-2}+\cdots =0,$

deren Koeffizienten Zahlen des Körpers $\varkappa _{\overline {v}}$ sind und deren Gruppe lediglich Substitutionen $p$-ten Grades enthält. Es wird ${\mathfrak {p}}_{\overline {v_{l}}}={\mathfrak {p}}_{\overline {\overline {v}}}^{p^{\overline {\overline {e}}}}$, wo ${\mathfrak {p}}_{\overline {\overline {v}}}$ Primideal des Körpers $\varkappa _{\overline {\overline {v}}}$ ist. Der Exponent ${\overline {\overline {e}}}$ überschreitet keinenfalls die Zahl $f$.

So fortfahrend gelangen wir zu einer dreimal überstrichenen Verzweigungsgruppe $g_{\overline {\overline {\overline {v}}}}$ usw. Ist etwa die $k$mal überstrichene Verzweigungsgruppe diejenige, welche lediglich aus der Substitution $1$ besteht, so ist der Körper $K$ selbst der $k$mal überstrichene Verzweigungskörper und die Struktur der Verzweigungsgruppe $g_{v}$ ist dann vollständig bekannt.

Durch die vorstehende Entwicklung erlangen wir einen vollständigen Einblick in die bei der Zerlegung einer rationalen Primzahl $p$ sich abspielenden Vorgänge:

Die rationale Primzahl $p$ wird zunächst im Zerlegungskörper in der Form $p={\mathfrak {pa}}$ zerlegt, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal ersten Grades und ${\mathfrak {a}}$ ein durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbares Ideal des Zerlegungskörpers ist. Der Zerlegungskörper ist als Unterkörper in dem Trägheitskörper enthalten, welcher seinerseits keine weitere Zerlegung von ${\mathfrak {p}}$ bewirkt, sondern lediglich dieses Ideal ${\mathfrak {p}}$ zu einem Primideal $f$-ten Grades erhebt. Ist der Körper $K$ selbst der Zerlegungskörper oder der Trägheitskörper, so ist nach diesem ersten Schritte die Zerlegung bereits abgeschlossen. Im anderen Falle läßt sich ${\mathfrak {p}}$ in gleiche Faktoren spalten, und zwar

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 19. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/36&oldid=- (Version vom 31.7.2018)