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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

Entsprechend beweisen wir

$\{\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}\{s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$.

Aus Formel (183) ergibt sich ferner

$\{\nu ,\mu \}\{s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$.

Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern

$\{\nu ,\mu \}^{2}=1$, d. h. $\{\nu ,\mu \}=1$,

und damit ist der Hilfssatz 49 bewiesen.

Wählen wir insbesondere $\nu$, $\mu$ als Primärzahlen von zwei beliebigen Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$ in $k(\zeta )$, so ist die Aussage des Hilfssatzes 49 mit dem allgemeinen Reziprozitätsgesetze 161 (S. 312) für diese Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$ gleichbedeutend.

§ 171. Übereinstimmung des Symbols $\{\nu ,\mu \}$ mit dem Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Wir schließen aus Satz 151 (S. 272), wobei nur der Fall ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ dieses Satzes zur Anwendung kommt, daß $\{\nu ,\mu \}$ stets den Wert $1$ besitzt, sobald $\nu$ die Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ ist; und endlich gelingt jetzt auch der Nachweis dafür, daß $\{\alpha ,\mu \}$ stets den Wert $1$ hat, sobald die ganze Zahl $\alpha$ Normenrest des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist. In der Tat, nehmen wir der Kürze wegen an, daß beide Zahlen $\alpha$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind, und setzen wir $\alpha \equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$, wo $N_{k}({\mathsf {A}})$ die Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ bedeuten soll, so ist die Zahl $\alpha \cdot {\big (}N_{k}({\mathsf {A}}){\big )}^{l-1}$ offenbar der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent; daher wird unter Benutzung der Formeln (182) sowie mit Rücksicht auf die vorausgeschickten Bemerkungen und den Hilfssatz 48:

$\{\alpha \cdot {\big (}N_{k}({\mathsf {A}}){\big )}^{l-1},\mu \}=\{\alpha ,\mu \}\{N_{k}({\mathsf {A}}),\mu \}^{l-1}=\{\alpha ,\mu \}=1$,

wie behauptet wurde. Wenn eine der Zahlen $\alpha$, $\mu$ oder beide durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, so gelingt der Nachweis dieser Formel ebenfalls ohne Mühe vermöge der nämlichen Hilfsmittel.

Ist $\mu$ eine ganze, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$, so folgt aus (181) leicht die Gleichung

$\{\zeta ,\mu \}=\zeta ^{\frac {1-n(\mu )}{l}}$;

demnach erfüllt der Ausdruck $\{\nu ,\mu \}$ sämtliche Forderungen, die für das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ am Schluß des § 133 aufgestellt worden sind; es ist somit,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 347. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/364&oldid=- (Version vom 9.9.2019)