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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.36

würde $\beta \equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen; wäre $r\equiv 1$ nach $l$, so würde $\varrho \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, d. h. $\beta \equiv \alpha +\beta$ oder $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen; beides läuft unserer Annahme über die Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ zuwider. Wäre $r\equiv {\tfrac {1}{2}}$ nach $l$, so würde $\varrho \equiv {\tfrac {1}{2}}$ nach ${\mathfrak {l}}$, d. h. $2\beta \equiv \alpha +\beta$ oder $\alpha \equiv \beta$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen. Da aber $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in der Gleichung (185) symmetrisch auftreten, so würde die gleiche Schlußweise auch zu der Kongruenz $\alpha \equiv \gamma$ nach ${\mathfrak {l}}$ führen, und dann wäre $\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}\equiv 3\alpha \equiv 0$, d. h. $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$, was wiederum unserer Annahme über $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ widerspricht. Jeder Faktor auf der linken Seite der Kongruenz (194) ist demnach durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar, daher ist mit Rücksicht auf die Annahme $l\geqq 7$ diese Kongruenz (194) unmöglich.

Wir nehmen nunmehr zweitens an, es sei in der Gleichung (185) eine der drei Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etwa $\gamma$, durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar, und zwar gehe in $\gamma$ genau die $m$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ auf. Wird dann $\gamma$ durch $\lambda ^{m}\delta$ ersetzt, so daß $\delta$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet, so ist die aus (185) entstehende Gleichung von der Gestalt

$\alpha ^{l}+\beta ^{l}=\varepsilon \lambda ^{lm}\delta ^{l}$;

(195)

hierin ist $\varepsilon =-1$. Es soll jetzt gezeigt werden, daß überhaupt eine Gleichung von dieser Gestalt (195) nicht möglich ist, wenn in derselben $\alpha$, $\beta$, $\delta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen und $\varepsilon$ irgendeine Einheit des Kreiskörpers $k(\zeta )$ sein sollen. Zu dem Zwecke nehmen wir wiederum die Zahlen $\alpha$, $\beta$ semiprimär an und bedenken dann zunächst, daß $\alpha ^{l}$, $\beta ^{l}$ ganzen rationalen Zahlen nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent werden und daher wegen (195) auch $\varepsilon \lambda ^{ml}\delta ^{l}$ einer ganzen rationalen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent sein muß; infolgedessen ist notwendig $m>1$. Ferner erkennen wir durch eine ähnliche Überlegung wie in dem vorher behandelten Falle und in Berücksichtigung des Umstandes, daß $\alpha +\beta$ semiprimär ist, die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:

$\left.{\begin{aligned}\alpha +\beta &=\lambda ^{l(m-1)+1}{\mathfrak {j}}^{l}{\mathfrak {a}},\\\alpha +\zeta \beta &=\lambda {\mathfrak {j}}_{1}^{l}{\mathfrak {a}},\\&\,\vdots \\\alpha +\zeta ^{l-1}\beta &=\lambda {\mathfrak {j}}_{l-1}^{l}{\mathfrak {a}},\end{aligned}}\right\}$.

(196)

wo ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {j}}_{1}$, …, ${\mathfrak {j}}_{l-1}$, ${\mathfrak {a}}$ zu ${\mathfrak {l}}$ prime Ideale in $k(\zeta )$ sind. Ist insbesondere $l=3$, so fällt die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ gleich $1$ aus, und es ist daher jedes Ideal in $k(\zeta )$ ein Hauptideal. Setzen wir in diesem Falle ${\mathfrak {a}}=(\varkappa )$, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeute, und dann

$\mu ={\frac {\alpha }{\varkappa }}$, $\varrho ={\frac {\beta }{\varkappa }}$,

so gehen die Gleichungen (196) über in

$\left.{\begin{aligned}\mu +\varrho &=\lambda ^{3(m-1)+1}{\mathfrak {j}}^{l},\\\mu +\zeta \varrho &=\lambda {\mathfrak {j}}_{1}^{l},\\\mu +\zeta ^{2}\varrho &=\lambda {\mathfrak {j}}_{2}^{l}.\end{aligned}}\right\}$

(197)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 352. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/369&oldid=- (Version vom 9.9.2019)