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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 8

die wichtigste Eigenschaft unseres Symbols spricht sich in dem folgenden Satze aus:

Wenn ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal des Körpers $k$ ist, das nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ aufgeht, so ist jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl in $k$ Normenrest des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach ${\mathfrak {w}}$. Wenn dagegen ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal des Körpers $k$ ist, das in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ aufgeht, so sind bei genügend hohem Exponenten $e$ von allen vorhandenen zu ${\mathfrak {w}}$ primen und nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ einander inkongruenten Zahlen in $k$ genau die Hälfte Normenreste nach ${\mathfrak {w}}$.

Diese Tatsache entspricht dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung eines einfachen Verzweigungspunktes den Vollwinkel auf die Hälfte desselben konform abbildet.

Mit Benutzung des eben definierten Symboles drückt sich das allgemeinste Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste durch die Formel aus:

$\prod _{({\mathfrak {w}})}{\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)}=[\nu ,\mu ][\nu ',\mu ']\cdots [\nu ^{(n-1)},\mu ^{(n-1)}]$ .

(3)

Hierin bedeuten $\nu ,\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers $k$. Das Produkt linker Hand ist über alle Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken; da dem vorigen Satz zufolge das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ nur für eine endliche Anzahl von Primidealen ${\mathfrak {w}}$ den Wert $-1$ haben kann, so kommt bei der Bestimmung des Wertes des Produktes nur eine endliche Anzahl von Faktoren in Betracht. Auf der rechten Seite der Formel $(3)$ bedeuten $\nu ',\mu ';\dots ;\nu ^{(n-1)},\mu ^{(n-1)}$ die zu $\nu ,\mu$ konjugierten Zahlen bzw. in den zu $k$ konjugierten Körpern $k';\dots ;k^{(n-1)};$ das Zeichen $[\nu ,\mu ]$ bedeutet den Wert $-1$, wenn der Körper $k$ reell und zugleich jede der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ negativ ist; in jedem anderen Falle bezeichnet $[\nu ,\mu ]$ den Wert $+1$. Entsprechend bedeutet $[\nu ',\mu ']$ den Wert $-1$, wenn $k'$ reell und zugleich jede der beiden Zahlen $\nu ',\mu '$ negativ ausfällt, in jedem anderen Falle dagegen soll $[\nu ',\mu ']$ den Wert $+1$ haben, usf.

Sind beispielsweise $k$ und alle zu $k$ konjugierten Körper imaginär, so lautet das Reziprozitätsgesetz

$\prod _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ .

(4)

Im Falle, daß $k$ den Körper der rationalen Zahlen bedeutet, erhalten wir

$\prod _{(w)}\left({\frac {n,m}{w}}\right)=[n,m]$ ,

(5)

wo $n,m$ zwei beliebige ganze rationale Zahlen sind, ferner $w$ alle rationalen Primzahlen durchläuft und $[n,m]$ den Wert $+1$ oder $-1$ bezeichnet, je

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 366. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/383&oldid=- (Version vom 31.7.2018)