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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 8

nachdem wenigstens eine der Zahlen $m,n$ positiv ausfällt oder beide negativ sind^[1].

Die einfachsten Fälle des quadratischen Reziprozitätsgesetzes erhalten wir aus unseren Formeln $(3)$, $(4)$, indem wir für $\nu ,\mu$ Einheiten oder unzerlegbare Zahlen des Körpers $k$ einsetzen. Insbesondere folgen aus $(5)$ die bekannten Formeln des gewöhnlichen quadratischen Reziprozitätsgesetzes, indem wir für $n,m$ die Zahlen $-1,2$ oder beliebige ungerade Primzahlen $p,q$ wählen^[1].

Es sei insbesondere der Körper $k$ nebst seinen sämtlichen Konjugierten imaginär und habe überdies die Klassenanzahl $h=1$. Bedeuten dann $\pi ,\varkappa ,\pi ',\varkappa '$ irgendwelche Primzahlen in $k$, die zu $2$ prim sind und nach dem Modul $4$ den Kongruenzen

$\pi \equiv \pi '$, $\varkappa \equiv \varkappa '$, $(4)$

genügen, so gelten, wie wir aus $(4)$ leicht erkennen, folgende spezielle Gesetze:

$\left({\frac {\pi }{\varkappa }}\right)\left({\frac {\varkappa }{\pi }}\right)=\left({\frac {\pi '}{\varkappa '}}\right)\left({\frac {\varkappa '}{\pi '}}\right)$,

und ferner wird, falls wenigstens eine der Primzahlen $\pi ,\varkappa$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $4$ kongruent ist:

$\left({\frac {\pi }{\varkappa }}\right)=\left({\frac {\varkappa }{\pi }}\right)$.

In den beiden letzten Formeln bedeutet allgemein das Symbol $\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)$ den Wert $+1$ oder $-1$, je nachdem $\nu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $\mu$ kongruent ist oder nicht. Die beiden letzteren Gesetze können leicht auf die mannigfaltigste Weise durch numerische Beispiele bestätigt werden.

Es ist überaus bemerkenswert, daß bei Anwendung unseres Symbols eine einzige Gleichung von so einfacher Bauart, wie es die Formel $(3)$ ist, das quadratische Reziprozitätsgesetz für einen beliebigen Zahlkörper in vollster Allgemeinheit zum Ausdruck bringt: die Formel $(3)$ gilt, gleichviel ob der zugrunde gelegte Körper $k$ ein Galoisscher ist oder irgendeinen oder gar keinen Affekt hat; die Formel $(3)$ nimmt Rücksicht auf die vielen möglichen Fälle, je nach der Realität des Körpers $k$ und seiner Konjugierten; sie gilt, wie auch immer die Zerlegung der Zahl $2$ im Körper $k$ ausfallen möge; sie enthält alle Ergänzungssätze; durch sie erscheint die exklusive Stellung der Zahl $2$ und der in $2$ aufgehenden Primideale beseitigt; vor allem endlich gilt die nämliche Formel $(3)$ unabhängig davon, ob die Klassenanzahl des Körpers $k$ ungerade oder durch irgendeine Potenz der Zahl $2$ teilbar ist.

Das Reziprozitätsgesetz in der Fassung $(3)$ erinnert an den Cauchyschen Integralsatz in der Funktionentheorie, demzufolge ein komplexes Integral,

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1. Vgl. 1. c. § 64 und § 69. (Dieser Band S. 161 und 169.)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 367. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/384&oldid=- (Version vom 31.7.2018)