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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 8

um alle einzelnen Singularitäten einer Funktion geführt, insgesamt stets den Wert $0$ ergibt. Einer der bekannten Beweise des gewöhnlichen quadratischen Reziprozitätsgesetzes weist auch auf einen inneren Zusammenhang zwischen jenem zahlentheoretischen Gesetze und Cauchys funktionentheoretischem Fundamentalsatz hin.

Doch das Reziprozitätsgesetz $(3)$ bildet nur den ersten wichtigen Schritt zur Begründung unserer Theorie der relativquadratischen Zahlkörper. Unsere weitere Aufgabe ist die Aufstellung aller relativquadratischen Körper und die Untersuchung ihrer Eigenschaften. Der Einfachheit halber sei fortan der zugrunde gelegte Rationalitätsbereich $k$ nebst sämtlichen Konjugierten imaginär. Da wir die Relativkörper durch ihre Relativdiskriminanten festlegen wollen, so ist offenbar die einfachste Frage diejenige nach den relativquadratischen Körpern mit der Relativdiskriminante $1$. Nach einem in meinem Berichte über die Theorie der algebraischen Zahlkörper bewiesenen Satze^[1] kann es einen solchen Relativkörper niemals geben, falls die Klassenanzahl des Köpers $k$ ungerade ist; wir wählen daher den Körper $k$ so, daß seine Klassenanzahl gerade, und zwar der Einfachheit halber gleich $2$ sei. In der Tat gelingt dann der Nachweis der Existenz eines Relativkörpers $K$ mit der Relativdiskriminante $1$. Dieser Körper werde der Klassenkörper^[2] von $k$ genannt. Der Klassenkörper $K$ besitzt folgende fundamentalen Eigenschaften:

1. Der Klassenkörper $K$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$.

2. Die Klassenanzahl des Klassenkörpers $K$ ist ungerade.

3a) Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, zerfallen in $K$ in das Produkt zweier Primideale.

3b) Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, bleiben in $K$ Primideale; sie werden jedoch in $K$ Hauptideale.

Von diesen vier Eigenschaften $1,2,3a,3b$ definiert bei unserer Annahme über den Körper $k$ jede für sich in eindeutiger Weise den Klassenkörper $K$; wir haben somit die Sätze:

1. Es gibt außer $K$ keinen anderen relativquadratischen Körper mit der Relativdiskriminante $1$ in bezug auf $k$.

2. Wenn ein zu $k$ relativquadratischer Körper eine ungerade Klassenanzahl hat, so stimmt derselbe mit dem Klassenkörper $K$ überein.

3. Wenn alle Primideale in $k$, die in $k$ Hauptideale sind, in einem relativquadratischen Körper zerfallen, oder wenn alle Primideale in $k$, die in $k$ nicht Hauptideale sind, in einem relativquadratischen Körper Primideale bleiben, so folgt jedesmal, daß dieser relativquadratische Körper kein anderer als der Klassenkörper $K$ ist.

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1. Satz 94 (dieser Band S. 155).
2. Vgl. H. Weber: Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern. Drei Abhandlungen. Math, Ann. 48, 48, 50. (1897, 1897, 1898).

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 368. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/385&oldid=- (Version vom 2.7.2019)