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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9

9. Über die Theorie des relativquadratischen Zahlkörpers.

[Mathematische Annalen Bd. 51, S. 1–127 (1899).]

Einleitung.

Es sei ein beliebiger Zahlkörper $k$ zugrunde gelegt; der Grad dieses Körpers $k$ heiße $m$ und die $m-1$ zu $k$ konjugierten Zahlkörper mögen mit $k^{\prime },\ k^{\prime \prime },$ …$,\ k^{(m-1)}$ bezeichnet werden. Die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k$ werde $h$ genannt.

Bezeichnet $\mu$ irgendeine ganze Zahl in $k,$ die nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ist, so bestimmt ${\sqrt {\mu }}$ zusammen mit den Zahlen des Körpers $k$ einen Körper vom Grade $2m,$ welcher relativ quadratisch in bezug auf den Körper $k$ ist und mit $K({\sqrt {\mu }})$ oder auch kurz mit $K$ bezeichnet wird. Es entsteht die Aufgabe, die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper aufzustellen und zu begründen. Dieses Problem erscheint mir als eine naturgemäße Verallgemeinerung desjenigen Problems, das den Gegenstand der „disquisitiones arithmeticae“ von Gauss bildet.

Die Theorie des relativquadratischen Körpers führte mich zur Entdeckung eines allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste, welches das gewöhnliche Reziprozitätsgesetz zwischen rationalen Primzahlen nur als ein vereinzeltes Glied in einer Kette der wunderbarsten und mannigfaltigsten Zahlenbeziehungen erscheinen läßt.

Die Methoden, welche ich im folgenden zur Untersuchung der relativquadratischen Körper angewandt habe, sind bei gehöriger Verallgemeinerung auch in der Theorie der relativ-Abelschen Körper von beliebigem Relativgrade mit gleichem Erfolge verwendbar und führen dann insbesondere zu den allgemeinsten Reziprozitätsgesetzen für beliebig hohe Potenzreste innerhalb eines beliebigen algebraischen Zahlenbereiches^[1].

Wenn man den in der vorliegenden Arbeit dargelegten Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste auf die von Kummer behandelte Theorie der $l$-ten Potenzreste im Körper der $l$-ten Einheitswurzeln überträgt, so entsteht ein neuer Beweis des Kummerschen Reziprozitätsgesetzes

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1. Vgl. das von der K. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen für das Jahr 1891 gestellte Preisthema.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 370. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/387&oldid=- (Version vom 31.7.2018)