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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

wiederum einen Komplex; dieser werde das Produkt der Komplexe $P$ und $P'$ genannt und mit $PP'$ bezeichnet.

Wenn $C$ eine Klasse im Komplexe $P$ ist, so werde derjenige Komplex, zu welchem die relativkonjugierte Klasse $SC$ gehört, der zu $P$ relativkonjugierte Komplex genannt und mit $SP$ bezeichnet.

Jeder Komplex, der mit dem ihm relativkonjugierten Komplexe übereinstimmt, heißt ein ambiger Komplex. Wenn $P$ ein ambiger Komplex ist, so folgt aus $P=SP$ die Gleichung

$P^{2}=P\cdot SP=1$,

d. h. das Quadrat jedes ambigen Komplexes ist der Hauptkomplex. Umgekehrt, wenn das Quadrat eines Komplexes $P$ den Hauptkomplex $1$ liefert, so ist $P$ ein ambiger Komplex. In der Tat folgt, da $P\cdot SP$ stets gleich $1$ ausfällt, aus $P^{2}=1$ die Gleichung $P=SP$.

Jeder Komplex $P$, der eine ambige Klasse $A$ enthält, ist ein ambiger Komplex; ein solcher Komplex werde ein aus der ambigen Klasse $A$ entspringender Komplex genannt. Enthält insbesondere die ambige Klasse $A$ ein ambiges Ideal ${\mathfrak {A}}$, so heißt $P$ ein aus dem ambigen Ideal ${\mathfrak {A}}$ entspringender Komplex.

Wenn eine Anzahl von Komplexen des Körpers $K$ vorgelegt ist, unter denen keiner der Hauptkomplex $1$ ist und keiner durch Multiplikation aus den übrigen hergeleitet werden kann, so heißen diese Komplexe voneinander unabhängig.

§ 13. Primideale des Körpers $k$ mit vorgeschriebenen quadratischen Charakteren.

Ein sehr wichtiges Hilfsmittel für die weitere Entwicklung der Theorie der relativquadratischen Körper gewinnen wir durch die Erörterung der Frage, ob es stets im Körper $k$ Primideale gibt, nach denen irgendwelche gegebene Zahlen vorgeschriebene quadratische Charaktere besitzen. Wir führen die Untersuchung dieser Frage in folgender Weise:

Satz 16. (Hilfssatz.) Es bedeute $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k$, welche nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, und man setze

$f(s)=\sum _{({\mathfrak {p}})}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$,   $(s>1)$,

wo die Summe rechter Hand über sämtliche Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist: dann nähert sich die Funktion $f(s)$ der reellen Veränderlichen $s$, wenn $s$ nach $1$ abnimmt, einer endlichen Grenze.

Beweis. Wir fassen den Körper $k$ vom Grade $m$ und ferner den durch ${\sqrt {\alpha }}$ bestimmten relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\alpha }})$ vom Grade $2\,m$ ins Auge und bilden bez. die Funktionen

$\zeta _{k}(s)=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,   $\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {P}})}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {P}})^{-s}}}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 390. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/407&oldid=- (Version vom 23.2.2020)